возможно ли не отрабатывать 2 недели ?

Если договоритесь с руководством, то можете уволиться раньше по собственному желанию или по соглашению сторон.

ТД, конечно, Вы теперь м. не подписывать. Если решили подписать, ставьте реальную дату подписания. Это теперь головная боль работодателя. Если уверены, что приказ о приеме был, можете пожаловаться в трудинспекцию на несвоевременное заключение с Вами ТД и несвоевременно выплату аванса. А можете попробовать этими двумя фактами припугнуть работодателя. Штраф для организации за несвоевременное оформление ТД будет до 100 тыс. руб. и несвоевременную выплату аванса нехилый. Сам факт прихода трудинспекции с внеплановой проверкой уже должно заставить их стать сговорчивее и увольте Вас хоть завтра))))
Для аргументации:
п. 3 ст. 5.27 КоАП РФ:
если организация, ее должностные лица или предприниматель уклоняются от оформления трудового договора или ненадлежащим образом оформили трудовой договор, в том числе подменили трудовой договор гражданско-правовымштраш:
-Для должностных лиц – штраф от 10 000 до 20 000 руб.
-Для организаций – штраф от 50 000 до 100 000 руб.
п. 6 ст. 5.27 КоАП РФ
Невыплата или неполная выплата в установленный срок заработной платы, других выплат, осуществляемых в рамках трудовых отношений, если эти действия не содержат уголовно наказуемого деяния, либо установление заработной платы в размере менее размера, предусмотренного трудовым законодательством, -
влечет предупреждение или наложение административного штрафа -на должностных лиц в размере от 10 000 до 20 000 рублей;
-на юридических лиц - от 30 000 до 50 000 рублей.

Можно, но дело не стоит выеденного яйца.