Можно ли работнику написать заявление на увольнение вот так:

И так сойдёт.

Дата, когда вы желаете уволиться в заявлении должна быть указана. Заявление вы подаете не позднее, чем за 2 недели до дня увольнения.
Отсчет срока предупреждения начинается со дня, следующего за днем подачи заявление. Т. е. если вы подаете заявление сегодня, 8 февраля, то оно должно быть таким: "Прошу уволить меня по собственному желанию 22 февраля".
Когда закроют ваш больничный значения не имеет, уволят вас в день указанный в заявлении. ТК РФ запрещено увольнять в период временной нетрудоспособности только в случае, если инициатива увольнения исходит от работодателя.
Если работник сам желает уволиться, то больничный препятствием не является.

"Прошу уволить по собственному желанию". Подпись и текущая дата. Кадровик сам знает, когда уволить. Во время больничного не сможет, только после.

Нельзя так писать. Должна быть указана конкретная дата. Если работодатель согласен отпустить без «отработки»— пусть работник пишет завтрашнее число. После увольнения и закрытия больничного — сдаст больничный — получит по нему выплату. Там срок предъявления больничного после увольнения — достаточно большой. Писать просто с фамилией и подписью — также нельзя. Кадровик понятия не имеет, кого и когда увольнять. Можно написать заявление, где будет указано, что уволить следует человека и через два месяца. Ограничен лишь минимальный срок предупреждения об увольнении, максимальный — неограничен.

Работника по собственному желанию можно уволить и в период нахождения на больничном. Оплата б/л производится в любом случае полностью по его закрытии и предъявлении работодателю..

зачем вам писать сейчас заявление? Доболеете и приходите. Больничный вам здесь должны оплатить. Он оплачивается еще, если бы вы заболели в течение месяца после увольнения. Мне кажется, если станете увольняться после болезни будет проще. Можно поговорить с рук. об увольнении по соглашению сторон - это за 3 дня, не за 14