Могут ли отказать в отгуле матери двух детей до 14 лет

Отгул - это когда работала в выходной за одинарную оплату, а потом вместо повышенной оплаты берешь дополнительный выходной. Если нет таких "отгулов", то работодатель не обязан его предоставлять. На ст. 263 ссылаться бесполезно, если в коллективном договоре ничего про дополнительные отпуска не указано, и если колдоговора нет - тоже. Если на БС договориться не получается - топай с самого раннего утра в центр переливания крови, и сдавай. Будет у тебя две справки - по одной освобождение от работы в день сдачи, по другой - в какой-нибудь другой день.

Нет в ТК РФ понятия "отгул", никакие "отгулы" работодатель никому предоставлять не обязан. Если вы заработали выходной за работу, например, в свои законные выходные или в праздники, тогда можете просить предоставления вам этого выходного в удобное время, а если не заработали, то и просить нечего.
Ст. 263 ТК РФ работодателю дано право предусмотреть в коллективном договоре доп. отпуска для некоторых категорий работников. В вашей организации есть коллективный договор и он предусматривает такую льготы? Тогда по вашему заявлению вам этот доп. отпуск предоставить обязаны. Не предусматривает коллективный договор вашей организации таких отпусков, значит и права на них у вас нет.
Ст. 128 ТК РФ установлено, что работнику может быть предоставлен отпуск без сохранения зарплаты, но это при наличии уважительной причины и на усмотрение работодателя. Наличие несовершеннолетних детей не является безусловной уважительной причиной для предоставления вам отпуска без содержания. Работодатель имеет полное право вам отказать.
Напишите заявление на предоставление отпуска без сохранения зарплаты, укажите причину, работодатель рассмотрит и если сочтет нужным, то один день отпуска вам предоставит.
Если нет, то, как выше сказали, кровь сдайте, получите донорский выходной, в нём не имеют права отказать.

Могут. На работе вы такой же работник, как и все.

смотря, кто у вас там работодатель... если человечности нет, то откажет... а так нет. если вы не каждую неделю по 3 отгула берете, то должен дать. не волнуйтесь)