Должна ли будет организация что то оплачивать если чтото случится по дороге на не основное место работы?

На служебной если оформлена поездка - да.
На личной вас специально отправляют чтобы сэкономить на ГСМ и избежать ответственности: чтобы это пресечь ТРЕБУЙТЕ оформить поездку как положено:
"Если сотрудник едет в командировку на своей машине, это нужно отметить в приказе о командировке (абз. 2 п. 7 Постановления Правительства РФ от 13.10.2008 № 749). К унифицированной форме Т-9 стоит добавить поле “Проезд к месту командировки”.

Кроме того, при использовании личного автомобиля нужно заключить с сотрудником дополнительное соглашение и прописать в нем размер компенсации за использование личного транспорта в интересах компании (ст. 188 ТК РФ).

Соглашение можно составить в свободной форме и уточнить, что оно, допустим, дополнит раздел “Особые условия” действующего трудового договора. "

в зависимости от оформления такой командировки и условий эксплуатации этой СВОЕЙ машины

нормально - что? в пределах тысячи км я стараюсь ездить на своей машине в судебные заседания, если получается. по мне так нормально

случится что? если я напьюсь пьян и по пути на работу начну гонять старушек по тротуарам, то отвечать за это будет не организация. вас эта часть беспокоит? достаточно ли вы можете на себя положиться, чтобы отважно проехать 50 км по служебным делам?

Ну так и напишите, что простите доставить или оплатить поездку, может у вас машина сломалась, не можете ехать. Если вы а рабочее время без какого либо приказа будете находиться не на своем рабочем месте, то юридически вы покинули свое рабочее место и нарушили трудовую дисциплину, вы должны сидеть в своем кабинете по адресу указанному в трудовом договоре. И если с вами что то случится, то это не будет даже несчастным случаем на работе, ничего не получите.