Законно ли требование работодателя предоставлять такую справку, если нужно на пару дней взять отпуск без содержания?

Вообще очень странно. Видимо не хотят заморачиваться с оформлением. Есть такое понятие взять дни за свой счёт, то есть пишется заявление о предоставлении дней без оплаты труда, подписывается у руководства и отправляется в отдел труда и зарплаты. Без каких либо сопровождающих документов. И вам обязаны предоставить эти дни. Подтверждающие документы нужны при прохождении диспансеризации или посещения каки либо официальных организаций, но за эти дни работодатель обязан заплатить по среднему.

Абсолютно законно. Что за глупость то вы спрашиваете? Что значит отпроситься? Никто вас просто так отпускать не будет. Если уйдёте просто так - поставят прогул, а отсутствие на работе более 4 часов подряд равносильно увольнению.

Законно. Работодатель не обязан представлять отпуска без сохранения зарплаты исключительно по прихоти работников. Кому обязаны чётко в ст. 128 ТК РФ прописано, а всем остальным только если работодатель сочтёт причину уважительной и нигде не сказано, что он на слово верить обязан. Хотите отпуск без сохранения зарплаты получить, документально подтвердите, что у вас уважительная причины. Не можете подтвердить, вам абсолютно законно откажут.

Правильно, что на планёрке заявили, что "Без содержания не дают". Нет такого отпуска. Есть "Без сохранения заработной платы". Хотя бы правильно вопрос задавайте. а после ответы скрывайте.

Трудовое законодательство РФ содержит перечень случаев, когда администрация обязана предоставить такой отпуск. Хотелки работающего в этот перечень не входят.

ТК РФ Статья 128

Нет понятия "отпроситься" в трудовом законодательстве. Работник имеет право на административный отпуск или отпуск за свой счет. Однако работодатель имеет право согласиться отпустить в такой отпуск либо отказать. Все зависит от ситуации на работе и причины, п котором работник просит такой отпуск. Поэтому, возможно, и просят подтверждающие документы.