Увольнение по собственному желанию.

Право имеют, достаточно ли оснований.

замечание в трудовую не вносится

Все зависит от степени и характера проступка. Если будет сделан вывод, что вы не соответствуете занимаемой должности, например, то да, могут.

Ст. 66 ТК РФ: «Сведения о взысканиях в трудовую книжку не вносятся, за исключением случаев, когда дисциплинарным взысканием является увольнение».

Таким образом, запись об объявлении выговора в трудовую книжку не заносится. Статья 66 ТК РФ ясно запрещает внесение сведений о любых наказаниях работника, помимо увольнения.

Если работнику внесли запись именно о выговоре, это является незаконным.
Если запись есть с предыдущего места работы, она не имеет никакой силы для настоящего места работы.

Другой вопрос, который здесь может быть актуальным, что сотрудника можно будет уволить по инициативе работодателя по следующей причине: "неоднократное неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание".

Ст. 194:
Если в течение года со дня применения дисциплинарного взыскания работник не будет подвергнут новому дисциплинарному взысканию, то он считается не имеющим дисциплинарного взыскания.

Работодатель до истечения года со дня применения дисциплинарного взыскания имеет право снять его с работника по собственной инициативе, просьбе самого работника, ходатайству его непосредственного руководителя или представительного органа работников.

То есть, год нужно быть паинькой. Или разбираться, по какой причине работодатель внес запись в трудовую книжку (если это было не увольнение с предыдущего места работы).