А если работника не уволили через две недели после подачи заявления, то полагается какая-то компенсация?

Никакая компенсация не положена. Работник вправе прекратить работу и не выходить на нее, при этом работодатель обязан выдать работнику трудовую книжку и произвести полный расчет. В противном случае работодатель заплатит штраф.

Накосячить тут мог только сам работник.

компенсация чего?

Ситуация в вопросе не раскрыта, НО! если работник после предполагаемой даты увольнения добровольно продолжил ходить на работу, то заявление считается отозванным. Придется писать новое.
Если работа была прекращена, а работодатель не произвел расчет и не предоставил документы, то это другой разговор.
Компенсация Вам будет положена только в том случае,если Вам не выдали трудовую книжку (на бумажном носитале). И тов суде нужно будет доказать, что ВЫ без нее ни куда устроиться не могли.

Документы отдают просто и всё. Для этого на руках должна быть копия заявления об увольнении с датой двух недельной давности и с подписью руководителя о принятии заявления

Не уволили, это как? Не издали приказ и не сказали вам, что вы уволены? Значит что-то сделали с Вашим заявлением. Завление в скандальных организациях пишется обязательно с копией и на копии ставиться виза ответственного и когда принято. Или Вас все-таки уволили, но не выдали ТК? Или она у Вас электронная? Проверить уволили или нет при электронной книжке можно через госуслуги. А вот если уволили и не выплатили вовремя (в день увольнения) рассчет и не выдали документы (СТД-Р (при эл. книжке или ТК) и не уведомили (не направили Вам письмо, если Вы сами не пришли за трудовой), тогда да, они должны Вам выплатить компенсацию, но... только через суд, и это не такие уж огромные деньги, если только чтобы наказать.