Руководство просит писать заявления "об отпуске за свой счет" при этом работать как и раньше. Чтобы налоги не платить.

подписывайте, если хотите остаться без з/п.
а до сего момента вы разве з/п не получали?
стуканите на работодателя в инспекци по труду, придут и погладят их по головке.
но коли подпишите, потом не задавайте тут вопросов, как выбить зарплату и компенсации при увольнении

Они платили вам зарплату с января официально? Если да, узнайте заплатили ли отчисления на зарплату, иначе платили бы штрафы, т. е. уже показали официально. Конечно, не желательно вестись на это, но раз выхода нет и платят неплохо, хоть и неофициально, что остается делать?

пишите заявление в двух экземпляра и измажте себе руки этой пастой, что даст бухгалтер... потом бегом в прокуратуру и радость им доставите большую

можете подписывать, а можете и нет. если нет, можете потерять работу.
если подпишите, то работодатель должен издать приказ на основании вашего заявления об отпуске за свой счет, а вы имеете право письменно затребовать (на письменном требовании предоставить вам копии приказов поставьте входящий номер, а также затребуйте дату и подпись принявшего у вас данное требование) у работодателя надлежаще заверенные копии всех приказов, связанных с вами. далее вы работаете, получаете зарплату, собираете доказательства о ее получении и в суд.
уверяю, больше работодателю так делать не захочется.

Никогда не подписывайте документы задним числом. Это проблемы руководства, что они налоги не платят. Значит нет перечислений в пенсионный фонд. Начнут к Вам приставать, то скажите, что обратитесь в прокуратуру. И вообще, советую Вам не писать такое заявление, т. к. отпуск без сохранения заработной платы не входит в стаж работы.

если устраивает работа, писать заявление об отпуске, если нет - увольняться и в следующий раз внимательнее искать работу...