Моему ребенку 4 месяца.Может ли моя мама взять отпуск по уходу за ребенком,если она работает по контракту?

Статья 256. Отпуска по уходу за ребенком

По заявлению женщины ей предоставляется отпуск по уходу за ребенком до достижения им возраста трех лет. Порядок и сроки выплаты пособия по государственному социальному страхованию в период указанного отпуска определяются федеральными законами.
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)
Отпуска по уходу за ребенком могут быть использованы полностью или по частям также отцом ребенка, бабушкой, дедом, другим родственником или опекуном, фактически осуществляющим уход за ребенком.
По заявлению женщины или лиц, указанных в части второй настоящей статьи, во время нахождения в отпусках по уходу за ребенком они могут работать на условиях неполного рабочего времени или на дому с сохранением права на получение пособия по государственному социальному страхованию.
На период отпуска по уходу за ребенком за работником сохраняется место работы (должность) .
Отпуска по уходу за ребенком засчитываются в общий и непрерывный трудовой стаж, а также в стаж работы по специальности (за исключением случаев досрочного назначения трудовой пенсии по старости) .
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

Что занчит "по контракту"? По трудовому договору или гражданско-правовому?

Понятие "контракта" отсутствует в трудовом законодательстве РФ.
Если в Вашем случае по сути трудовой договор, то мама может взять отпуск по уходу за ребенком вместо Вас и получать соотв. пособие, если гражданско-правовой договор - нет.