Можно ли внести запись в трудовую книжку о получении нового образования и специальности?

Да можно и необходимо. Записи вносятся только руководителем или работником отдела кадров. При внесении записей о получении нового образования, профессии, специальности старая запись не зачёркивается как ранее, а новая пишется через запятую. При этом на внутренней стороне обложки указывается причина изменения записи со ссылкой на соответствующий документ, которая заверяется подписью руководителя и печатью организации (подписью работника кадровой службы и печатью отдела кадров) .
Иначе записи и сама книжка будут считаться недействительными.

если работать будешь по новой профессии или специальности, тогда внесут.

Естественно не можно а нужно со всеми сериями и данными.

Даже обязана - п. 26 Правил ведения и хранения ТК (изменение записей о фамилии, имени, отчестве и дате рождения, а также об образовании, профессии и специальности работника производится работодателем по последнему месту работы на основании паспорта, свидетельства о рождении, о браке, о расторжении брака, об изменении фамилии, имени, отчества и других документов) .

Старую запись не трогать (не вычеркивать)!! ! Делать приписку рядом и все.

Не забывай, что в трудовую книжку по месту работы также вносится с указанием соответствующих документов запись о времени обучения на курсах и в школах по повышению квалификации, по переквалификации и подготовке кадров (п. 21 Правил ведения и хранения ТК)

конечно можно, со всеми данными диплома