Me and my cat.Почему "Me" а не "I" ?

Не всё так просто.
1. В английском языке всё таки принято о себе говорить во вторую очередь (традиция) .
My cat and me wathced TV. He saw my cat and me. Можно слова и переставить, ошибка будет чисто техническая.
2. Вот почему "me" пишут вместо "I" ? (Кстати, никто официально не запрещает писать "I" ) Но вновь работают традиции, сложившиеся в другой исторической эпохе, когда ещё был древнеанглийский и среднеанглийский язык. (Сравните современный английский I think - среднеанглийский Me thinks)

Почитайте правило из учебника Practical English Usage - Michael Swan)

как отдельную фразу так НЕ говорят. это ошибка и глупо. просто не звучно даже
разве не ощущаете? так могут сказать только иностранцы. а вот myself вполне возможно

к сожелению я не могу обьяснить конкретно почему т. к правил не знаю но свободно говорю. я никогда не вдавалась в такие глупые вопросы т. к учила язык не специально. если вам не свойственно почувствовать то вам просто не дан язык.

меня и моему коту

разници нет что I что myself что me еще так бывает it is me переводится - это я

Вообще-то можно и так, и так. ME - указательное местоимение. т. е. автор именно "указывает" на себя. Например, человека вызывают к доске, а он говорит "я? ", т. е. "me?" Как бы показывая на себя пальцем)) )
Но можно сказать и I and my cat - ошибки не будет.