able to и can

Первое - значение.
can - теоретическая или фактическая возможность (умение) совершить действие.
to be able to - возможность совершить действие в определённой ситуации, при каких-то обстоятельствах.
В настоящем времени разница не столь заметна и существенна. Поэтому в большинстве случаев они взаимозаменяемы. Но тем не менее, отличие есть . Сравните:
Peter can't play football. - Питер не умеет играть в футбол (вообще)
Peter isn't able to play football now, because his leg is broken. - Питер не может (не в состаянии) играть в футбол сейчас, так как у него сломана нога.

В прошедшем времени разница уже более очевидна. При этом be able to означает не просто, что была возможность совершить действие, а то, что это действие совершилось. То есть при переводе у вас чётко будет слышна совершенная форма глагола! Не "мог", а СМОГ, УДАЛОСЬ, ПОЛУЧИЛОСЬ. Вот там, где в русском варианте вам хочется употребить именно эти слова, там в английском и следует отдать предпочтение BE ABLE TO, а не can. Сравните:

When I was in London, I could speak with native speakers every day. - Когда я был в Лондоне, я МОГ разговаривать с носителями языка каждый день. (То есть у меня была такая возможность, но по большому счёту, мы не знаем, реализовал он её или нет)
I am very proud of myself. You know, my English isn't very good, but when I was in London on business I was able to speak English with a native speaker. - Я очень горжусь собой. Ты знаешь, мой английский не очень хорош, но когда я был в Лондоне в командировке, я СМОГ поговорить с носителем. (То есть несмотря на плохой английский, он СМОГ, у него ПОЛУЧИЛОСЬ, ВЫШЛО, ему УДАЛОСЬ поговорить)
I had a lot of free time yesterday, so I could go to the cinema. - У меня вчера было много свободного времени, поэтому я МОГ пойти в кино.
Although I was very busy yesterday, I was able to go to the cinema. - Хотя я вчера был очень занят, я СМОГ (у меня получилось) сходить в кино.
Although I had enough free time yesterday I wasn't able to go to the cinema. - Хотя у меня и было достаточно свободного времени вчера, я не СМОГ (у меня не получилось) сходить в кино.

Второе - употребление в различных временах.
Поскольку у CAN есть только 2 формы - настоящая (can) и прошедшая (could), то во всех остальных временах он просто не может употребляться. Например, вы хотите скахать, что СМОЖЕТЕ сделать это завтра. Это уже будущая форма. Или хотите сказать, как долго вы умеете что-то делать, например, вязать или ездить на велосипеде. Present Simple не справляется с показанием длительности, поэтому нежен Перфект.

I'll be able to send the fax only in 2 days. - Я смогу отправить этот факс только через 2 дня.
I have been able to drive a car for 7 years. - Я умею водить автомобиль уже 7 лет.

Вывод- to be able to нам нужен для:
1) показать, что я справился (или не справился) с каким-то действием при определённых обстоятельствах, то есть показать, что не просто мог, а СМОГ.
2) для того, чтобы заменить can в тех видо-временных формах, в которых can просто по своей природе (в виду отсутствия таковых) стоять не может.

may - это возможность от обстоятельств (разрешение) ,
а сan - физическая возможность, как и able to.

able to это, кроме прочего ещё и удаваться что-то сделать
сan это просто иметь физическую возможность.
Например, The building was set on fire but everyone was able to escape.
Но,
Although the people could escape from the burning building they were not able to escape.
Могли, но не смогли.

CAN - настоящее время,
COULD - прошедшее. от CAN.
А вот если Вы хотите сказать "смогу что-то сделать ", в будущем времени, то тогда надо использовать ABLE TO.
Например,
I can go for a walk alone. Я могу пойти гулять одна.
I could go for a walk alone. Я могла пойти гулять одна.
I will be able to go for a walk alone. Я смогу пойти гулять одна.