This music is often laid-back and sentimental,but can be lively when PLAYED for country dancing. Объясните, пожалуйста

Можно попытаться объяснить попроще. Для простоты можно развернуть такие конструкции в сложное предложение.
Например:
This music ...can be lively when it (music) is PLAYED for country dancing
Тут, как мы видим, у нас одно и то же подлежащее (music), причем во втором (придаточном) предложении оно используется с глаголом to be.
В таком случае подлежащее и личная форма глагола опускаются (и так все понятно) , а остается союз и причастие, причем причастие может быть как действительное, так и страдательное (Participle I и II), и вообще любое, да и не только причастие, прилагательное тоже.
Главное: чтобы подлежащее было одним и тем же)) )
Так, вместо того чтобы сказать:
when she is asked she always answers
говорят: when asked, she always answers
Вместо When you are driving, you may seldom find yourself in ideal conditions - When driving, you may seldom find yourself in ideal conditions.
Вместо If you speak while you are angry, you'll regret it in the long run - If you speak while angry, you'll regret it in the long run.
Вместо If she was lost, she was unafraid - If lost, she was unafraid
Вместо If he is found, he will be killed - If found, he will be killed.
и так далее по такому принципу.
Есть несколько исключений, но там много объяснений и они редко встречаются.

when played - это абсолютная номинативная конструкция - причастие (played) является предикативом существительного в общем падеже, в данном случае "music"