Почему некоторые люди говорят окончание ай вместо ий например Дубровскай, сладкай, вкуснай, вместо Дубровский, сладкий ?

Это так называемое старомосковское произношение. Раньше оно было нормой русского литературного языка. Со временем нормы изменились, но отголоски сохраняются до сих пор. Особенно в речи тех людей, которые эти нормы ещё застали.
Для старомосковского произношения век назад было характерна т. н. ассимилятивная или позиционная мягкость согласных.
Ранее говорили «маленькай». Говорили также «молошная каша» (но «молоЧНая кислота») , «грешневая каша» , «булошная» , «яишница» , коришневый и т. п. , кроме «тоЧНый» .
Уже полностью ушло произношение «цаловать» , «танцовать» . Некоторые люди старшего возраста ещё употребляют удлинённую «ж» в словах типа «визжать» , «дребезжать» (произносится «вижжять» , «дребежжять») , а также оглушают звонкие согласные в середине слова «дождь» (произносят «дощщь»).

они, наверно, больны.. .
на голову.
а можыт приоста ф школя не хадиль сафсем ни рюски

Я бы только сказал, что не старомосковское, а просто московское произношение.
Оно даже было когда-то эталоном, и не так уж давно.

Одна из особенностей старомосковского, а потом и сценического произношения. Только в окончании не "а", а "ы": Дубровскый, сладкый, высокый....

Российская глубинка.

Местное произношение.

Это дореволюционный выговор. Кажется Царев и Бруно Фрейндлих (актеры) так говорили.
И Яковлев в фильме про Эрмитаж.

Колхозное воспитание

В школе учитель указкой по рукам бил, а они АЙкали))) )
Привычка блин))))

Но яишница (в проиношении) осталась до сих пор

Это чтобы снова отдалить схожесть русского языка с тюркскими языками, которое началось ещё в среде века, когда пришли феодалы и стали порабощать народ.

В казахском языке оканчание именительного падежа заканчивается на -ай.

Например:

кішкентай - маленький. Осындай - такой.