Проверьте перевод, пожалуйста:

3. They heard him GO upstairs soon. (Лучше использовать инфинитив, так как "они слышали" полное действие, то есть они слышали не как он поднимался, а как поднялся).
4. Will they allow you to go with me? (Можно еще так)
5. Jane seems to be earlier than you TO OFFER help them.
6. Many passengers seemed to be tourists.
7. They say things like that are not likely to happen twice.
8. They heard the FRONT door being slammed.
8. He seems to be going to become a doctor.
10. It TURNED out that I KNEW him well.
11. You seem to HAVE CHANGED a lot since then,
Остальное нормально.

1.Говорят, что он лучший доктор в нашем городе.
He is said to be the best doctor in our city/ town.
2.Видели, как он перевернул страницу и начал читать.
He was seen to turn a page and start reading.
3.Слышали, что он вскоре поднялся наверх.
He was heard to go upstairs.
4.Вам разрешат идти вместе со мной?
Will you be allowed to go with me? / Will they allow you to go with me?
5.Джейн, кажется, раньше, чем вы, изъявила желание помочь им.
Jane seems to have shown her willingness to help them earlier than you did.
6.Многие из пассажиров, по-видимому, были туристами.
Many passengers are likely to have been tourists.
7.Они сказали, что подобное вряд ли случается дважды.
They said such things were unlikely to happen twice.
8.По-видимому, он собирается стать врачом.
He is likely to become a doctor.
9.Детям не разрешалось трогать кроликов.
The children were not allowed to touch the rabbits.
10.Оказалось, что я его хорошо знаю.
I turned out to know him well.
11.С того времени вы, кажется, очень сильно изменились.
You seem to have changed a lot since then.
12.Слышали, как хлопнула входная дверь.
The entrance door was heard to bang/ slap.

PS задание у вас на инфинитивные конструкции и формы инфинитива )

В задании просто перевести или сделать причастный оборот?

Если сделать причастный оборот, то многое придётся переделать:
Thay say he's the best doctor in our city. -> he is said to be the best doctor in our city

И так далее.