почему to а не in? have you ever been to the Hermitage? интересует ответ на первый вопрос.

В данном случае "To" употребляется только в Present Perfect с причастием "been". В любом другом времени будет привычный предлог "in".
Это можно просто запомнить как “небольшой глюк английского языка”.
Но объяснение, все же, есть.

Например, “I’ve lived in London for two years“? Или “Tom has worked in London since January?” переводятся как: “Я живу в Лондоне два года” и “Том работает в Лондоне с января. ”
Здесь другой случай Present Perfect. Это время употребляется, когда действие происходит в настоящем, и мы говорим, как долго оно происходит (то есть используем for, since или how long).

Предлог “in” как бы “зарезервирован” в языке именно для этого случая в Present Perfect. И когда ты скажешь “I’ve been in London…”, то мозг англичанина уже ждет, что дальше будет сказано, как долго уже длится действие в настоящем. Например: “I’ve been in London for two months.” - “Я нахожусь в Лондоне два месяца”.

to - предлог направления движения из места, где мы находимся, in - предлог расположения внутри объекта

Если глагол to be стоит в Perfect (have been) в значении "побывал" ( и уже вернулся), то после него употребляется предлог to, а не in. В грамматике это правило обычно прописывается в теме Present Perfect.

Потому что здесь имеется ввиду посещение Эрмитажа, а не проживание/нахождение там какое-либо время. Можно заменить словами visit, attend и т. п.

Потому что Present Perfect