Переводятся ли при переводе названия песен? Есть на этот счет какие-то правила?

Для начала - he's listening to "Crazy King" now

Дальше - зависит от того, чья песня и что за песня. Если это Жёлтая субмарина, Ветер перемен или Дом восходящего солнца - такие названия можно перевести на русский, все и так поймут, что именно это за песни. С другой стороны, не такие крупные хиты лучше оставлять на языке оригинала.
Как правило, названия песен сейчас и вовсе не переводят, к ним лишь дополнительно подписываются авторы песен. Например "Он сейчас слушает песню Starman Дэвида Боуи" или делают отдельную сноску на нижние поля страницы аля 1- "Starman" - культовая песня, написанная известным британским музыкантом Дэвидом Боуи

Не особо поняла, перевели ли вы название русской песни Сумасшедший король на английский или хотите перевести Crazy king на русский, но вышеописанное работает в обе стороны. Никаких правил в этом вопросе нет, всё зависит от инициативы и виденья переводчика. И если это русская песня - обязательно!!! делайте сноску со словами "такая то песня русской группы такой то", а если прослушивание этой песни как то характеризует этого абстрактного человека, то еще и справочку краткую (очень краткую) прикрепите - в каком году вышла, что за жанр, о чём.

Названия песен чаще всего принято не переводить, передавая их в оригинальном виде и сохраняя произношение, в отличие от названий фильмов и художественных произведений. К примеру, даже в чартах на радио названия зарубежных хитов никто не переводит. В кинофильмах при упоминании музыкальных композиций их также не переводят, заставляя актёров озвучивания произносить оригинальные названия. Интересен тот факт, что на классические музыкальные композиции это правило не распространяется. Так, Соната для фортепиано № 14 Бетховена нам более известна как Лунная соната.
Оптимально сначала писать оригинальное название (без кавычек, а то при наборе русского текста «вылезают» обычно кавычки-ёлочки, которые с английскими словами не сочетаются), а затем в скобках и кавычках — его перевод. Такой подход не обязателен всегда и везде, однако он вполне уместен в энциклопедиях и справочных изданиях (в специализированных изданиях для аудитории, знакомой с предметом, кириллицу редко используют).
Про группу ABBA. Синглы Honey Honey (Дорогой) и So Long (Прощай), вышедшие весной и осенью 1974, прошли незамеченными для публики. Последние два альбома Super Trouper 1980 г. (Супер Трупер) и The Visitors, 1981 г. (Пришельцы) стали вершиной творчества квартета.
Про группу T.REX. Первый альбом обновленного состава Electric Warrior 1971 г. ("Электрический воин") почти весь состоял из хитов: Cosmic Dancer ("Космический танцор"), Jeepster ("Игрушка"), Get it On ("Давай"), Life's A Gas ("Жизнь – чепуха").
Другой пример. Ему нравится (песня) Shape of My Heart (в исполнении) Стинга. Скобки указывают на факультативность некоторых элементов в зависимости от регистра устной/письменной речи (чат, переписка, блог, хит-парады, периодика, специализированные издания). Дело в том, что так проще всего идентифицировать продукт массовой культуры, каким является песня, чем транскрибировать ее («Шейп оф май харт»), переводить дословно («Форма моего сердца») или подыскивать семантическое соответствие («Мне это не по душе» или «Это не предел моих мечтаний»). Кроме того, помимо формальной стороны (передача средствами графики) возникает более серьезная проблема – коммуникационная. Если пытаться утверждать какой-то один универсальный вариант, то кириллическое написание запутает всех окончательно. Логика сводится к тому, что так как многие песни у всех на слуху, а английским владеют худо-бедно почти все, необходимость в переводе названия отпадает (все равно на русском названия не приживутся, так как предложить удачный вариант, который бы устроил всех, вряд ли возможно). В отдельных случаях ознакомительный вариант не вызовет сильного возмущения.
В данном примере приведено имя исполнителя, а не сама песня. Crazy King - это восходящая звезда музыкального Болливуда. Это прозвище рэпера, певца и исполнителя живых концертов по имени Бхарат Госвами (Bharat Goswami). Оно относится к несобственным прозвищам, которые содержат нарицательные элементы. Соответствия основываются на стремлении создать образ и (если она присутствует) характеристику, заложенную в прозвище. При этом нужно учитывать, что в русском, как и в английском, существуют стандартные способы прозвищной номинации, своя номенклатура прозвищ по внешним и другим признакам. Это накладывает свои ограничения на возможные варианты передачи.
Так как этот индийский певец мало кому известен в России, то в рамках конкретного текста следует добавить одно из слов, указывающих на его жанровую принадлежность. Например: Теперь он слушает музыку рэпера Крейзи Кинг (транскрипция позволяет, во-первых, легче идентифицировать исполнителя в оригинале, а во-вторых, не вызывает недоумения, как если бы на русском (Безумный Король) имя было на слуху, что не соответствует действительности).