Вопрос знатокам русского языка. "Нужен" и "нужны" - разные части речи? И какие именно?

Да, в этих предложениях слова НУЖНЫ и НУЖНО – разные части речи.

В предложении _Какие документы нужны для... _ слово НУЖНЫ – КРАТКОЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ (полная форма – НУЖНЫЕ; начальная форма – НУЖНЫЙ), так как:
◆ на вопрос КАКОВЫ? (полная форма – на вопрос КАКИЕ? и начальная форма – на вопрос КАКОЙ?) отвечает;
◆ обозначает признак предмета (документы);
◆ изменяется по числам, а в единственном числе по родам (нужны – нужен паспорт, нужна лицензия, нужно удостоверение);
◆ в предложении является сказуемым (составным именным с нулевой связкой) при подлежащем ДОКУМЕНТЫ (документы каковы?).

В предложении _Какие документы нужно подготовить для... _ НУЖННО – СЛОВО КАТЕГОРИИ СОСТОЯНИЯ (СКС) – в словарях пишут ПРЕДИКАТИВ или В ЗНАЧЕНИИ СКАЗУЕМОГО, так как:
◆ обозначает состояние, «оценку чего-либо как необходимого, что надо сделать» (словарь Т. Ефремовой);
◆ на вопросы КАК? КАКОВО? отвечает как часть речи (как, каково? нужно);
◆ не изменяется;
◆ входит в состав составного глагольного сказуемого в односоставном безличном (изучается в 8-м классе) предложении (вспомогательная часть сказуемого: СКС НУЖНО + нулевой глагол-связка, показатель настоящего времени; выраженная связка – БЫЛО или БУДЕТ – является показателем прошедшего или будущего времени; основная часть сказуемого – инфинитив ПОДГОТОВИТЬ).

Добавлю: слова категории состояния – особая группа слов, выделяемых из наречий. Категории времени СКС не имеют. Категория времени есть у сказуемых, в состав которых входит СКС, и выражается время, как показано выше, с помощью глагола-связки: нулевая связка – настоящее время, выраженная – прошедшее или будущее время.
.

нужны – краткое прилагательное, неодушевленное или одушевленное., множественное число (полная форма "нужные")
нужен - краткое прилагательное, неодушевленное или одушевленное., мужской род, единственное число (полная форма "нужный")
нужно - предикатив настоящего времени
Что такое предикатив узнайте тут:
https://ru.wikipedia.org/wiki/Предикатив