on day time at day time Какой вариант вернее?

Sagitta вам ответила правильно. In the day time. Однако, это значит "днем, в дневное время". А вам ведь нужно сказать "учатся на дневном отделении" - смысл заметно иной. Поэтому вполне возможно, что по аналогии с at school, at the institute здесь надо употребить предлог at.
-------
Вообще советую запомнить раз и навсегда: прямого соответствия между русскими и английскими предлогами нет. Пример: для русского НА и английского ON совпадение имеет место только в узком пространстве, когда это предлоги места (на столе = on the table). Но ведь и в русском, и в английском языках эти же самые предлоги сплошь и рядом употребляются в других смыслах:
случилось на днях, была на празднике, играет на гитаре, учится на пятерки, пошли на крайние меры и т. п. Какой предлог используют англичане в этих выражениях (и используют ли вообще), нам обычно приходится просто ЗАУЧИВАТЬ, без всякого логического объяснения. Точно так же, как и иностранцам при изучении русского. Пример: вряд ли вы сможете объяснить им, почему надо говорить: в офисе, в магазине, - и в то же время: на фабрике, на рынке. Вы им наверняка скажете: это надо просто запомнить!

Никакой
In (the) daytime.

И да, рассматривать предлоги отдельно смысла нет. Они употребляются в устойчивых сочетаниях, которые надо запомнить.