Pete thought that Annette would come to Paris in an hour if there were no delays. Зачем здесь "there"?

Обороты there is, there are, there was, there were - формально переводились бы как
"там есть, там было, там были"
Но стандартно слово "там" опускается:
There are two books on the table - На столе две книги.
If there were no delays - Если не было задержек.
Это один из часто употребляемых оборотов речи.

There - это формальное подлежащее, по-английски dummy subject.
К "там" никакого отношения не имеет.
There was no restaurant there. Второе there - это "там". А первое - нет. Это подлежащее.
В обороте there is/are/was/were вводит новое (рему) в предложении.
Есть/будет/было что-либо.

А как бы вы лично сказали - если не будет задержек?)

Конструкция/оборот there is /there are = имеется, находится, есть, существует .Оборот there is/there are начинает предложение и вводит ПОДЛЕЖАЩЕЕ.
There is no place like home.
There were lots of people in the hall.
В этой конструкции there не имеет самостоятельного значения и на русский язык не переводится. Если по смыслу требуется обстоятельство места --there--там, то оно ставится в конце предложения--There was nobody there.
В вашем варианте-прошедшее время, delays -множ число, да еще с отрицанием-поэтому there were no delays

Спасибо, я тебя тоже.

Потому что это - часть выражения "there is / are" (в прошедшем времени).
There are no delays. > If there are no delays ...> If there were no delays...

Придаточное предложение if there were no delays строится по типу простого предложения. Это означает, что обязательно должно быть подлежащее и сказуемое. Здесь there обозначает подлежащее. Всё ясно?