Где твой кот? Как это правильней сказать по английски и*

Дословно - "Где есть твой кот? ", но никак не "Где делает действие твой кот? "
Правильно либо
Where IS your cat?
либо, например,
Where DOES your cat sleep?

Второе. "Где есть твой кот?"

Нужно сказать? "Кот твой есть где?"

Второе правильно. Объясняю на будущее.
does - вспомогательный глагол, используется в паре со смысловым глаголом. Например: Where does your cat eat? = Где твой кот ест?
Поэтому, если бы вопрос стоял так: Где твой кот лежит? Где твой кот гуляет? Где твой кот спит? и т. д. - во всех случаях надо начинать Where does...?
Но в данном случае спрашивается: Где твой кот? Фактически это значит: Где твой кот находится? Здесь смысловой глагол "находится", по-английски это IS. А у этого глагола есть уникальная особенность: при построении вопросительных и отрицательных предложений он совершенно не нуждается во вспомогательном глаголе does и обходится без него. Сравни:
Does he live in London? = Он живет в Лондоне?
Is he in London? = Он находится в Лондоне?

Полагаю, тебе не надо напоминать, что глагол IS это только одна из форм глагола to be. Еще есть am, are, is, was, were - и все они обходятся без do, does и did.
Where are your cats? = Где (находятся) твои коты?
Where was your son yesterday? = Где был твой сын вчера?

Твой кот говори как хочешь.