Почему неистребим акцент?

Голосовой аппарат формируется в процессе взросления, и привыкает воспроизводить те или иные звуки. После достижения определенного возраста, процесс его развития/деформации останавливается, из-за чего становится невозможно или достаточно сложно воспроизводить непривычные звуки, отсюда и акцент. Из-за этого и барьер к изучению славянских языков. Мы можем воспроизвести их звуки, а они нет.
Повезло лишь армянам - они хоть и имеют определенный говор, свойственный этому народу (который исправляется со временем!), но способны воспроизвести почти все известные звуки любого языка.

Языки надо учить до начала переходного возраста.
Поэтому не только у кавказцев акцент неистребим
(органы речи уже настроены на другое).

Потому, что у них нет такой цели! Если человек хочет - еще как избавляется. Например, многие эмигранты проходят специальные курсы - и успешно. Или посмотрите на голливудских актеров-иностранцев.

Они не забывают родной язык....

Потому что метод подражания не всех избавит от акцента. Фонетика - отдельная наука, звуки нужно ставить профессионально и долго, мучительно тренировать.

Да им пофиг. Судя по всему, не особо им и хотелось. А если поработать, то довольно скоро всё окупится.

Вы неправильно ставите вопрос. Надо не "избавляться от акцента", а учиться тому акценту, который нужен. Есть даже такая профессия -- тренер по диалогу. Хороший тренер может научить Вас любому акценту. Но это время и деньги, которых практически ни у кого нет. Соответственно, тренеры по диалогу работают в основном в кино...

И представители европейской национальности не могут от акцента избавиться - Арни до сих пор говорит на англо с немецким акцентом.