Является ли эта фраза на английском правильной?

Данный вопрос является, как было сказано в первом же ответе, абсолютно разговорным вариантом. Однако, чтобы это знать, не нужно быть семи пядей во лбу. Другое дело, откуда есть пошла манера говорить так, как это делает герой сериала "Друзья". Виноваты во всем итало-американцы. Это они начали проглатывать звуки, что придавало их речи крутизну и брутальность, как сейчас модно выражаться.
Кстати, можно даже еще короче написать - How u doi' ? -и поймут, другое дело, что лучше так не писать, поскольку и среди американцев есть борцы за чистоту языка, которые реагируют на это весьма болезненно, особенно, когда сие исходит от иностранцев.

How are you doing

Так, наверно, правильней.

How you're doing!
Замечательная фраза-приветствие. Очень распространена в разговорном языке.
What's up ? -тоже из того же разряда. Ей чаще пользуются американцы.

является, все по разному ее говорят, с разным пронаунсом (забыла как это слово по русски)

))) да ведь это классика! все пользуются этим.
как крылатая фраза из taxi driver: you talkin' a me?

http://www.youtube.com/watch?v=XzPBUGUM7KQ

эта фраза неправильно написана, но в песнях на англ. языке певцы не соблюдают никаких правил
нужно писать: what are you doing? (что ты делаешь) или how you do (как ты делаешь)

Надо How you doing? вот так точнее будет!

хороший вопрос! не знаю)) хотя достаточно хорошо говорю по англ.
жду других
ответов)

Это разговорный язык.

How are you doing или How do you do два 100 прцентных варанта