При каких случаях НОК (х; у) =ху

Если x и y взаимно простые числа

Для начала рассмотрим случай, когда это не так.

НОК (x; y) < xy

Это может быть, например, если x = ab, y = ac, xy = abac,
где a, b, c - натуральные числа > 1.

НОК (ab, ac) = abc < abac

НОК двух чисел оказывается меньше произведения этих чисел, если эти числа можно разложить на простые множители так, что некоторые множители будут общими (например, a). В этом случае в НОК будет a вместо a^2.

Если же общих множителей нет, то НОК равен произведению чисел.

Частный случай - если мы вычисляем НОК двух различных простых чисел, которые по определению не раскладываются на множители.

1)

\begin{cases} x+y-xy=-14\\x+y+xy=2 \end{cases}

Прибавим к 1му уравнению второе и получим:

2(х+y)=-12

x+y=-6

x=-6-y

Подставим допустим во 2 уравнение системы, получим

-6-y+y-(6+y)y=2

-6y-y^2-6=2 \\ y^2+6y+8=0

По теореме Виета корни будут: y_1=-2 \\ y_2=-4

Находим х, получаем

x_1=-6+2=-4 \\ x_2=-6+4=-2

Ответ: решением системы являются пары чисел (х, у): (-4,-2), (-2, -4)

2)

\begin{cases} x^2+y^2-xy=3\\x+y-xy=1\end{cases}

Выразим из второго уравнения х, получим:

x(1-y)+y=1 \\ x(1-y)=1-y \\ x=\frac{1-y}{1-y}=1, только при условии, что y\neq1 (это рассмотрим отдельно)

Теперь подставляем х=1 в 1 уравнение системы и получаем:

1+y^2-y=3 \\ y^2-y-2=0

По теореме Виета:

y_1=2, y_2=-1

Теперь рассмотрим случай, когда y=1, является ли он решением:

Подставляем в 1 и 2 уравнение системы и получаем:

\begin{cases} x^2+1-x=3\\x+1-x=1\end{cases} \\ \\ \begin{cases} x^2-x-2=0\\1=1\end{cases}

По теореме Виета получаем x_1=2, x_2=-1

Т. е у нас получаются следующие пары решений (х, у): (1,2), (1,-1), (2,1), (-1,1)

Ответ: решение системы являются следующие пары решений (х, у): (1,2), (1,-1), (2,1), (-1,1)