При каком целом значении b уравнения

Ответ: b = 2.
Условие равносильно следующему: выяснить, имеется ли среди решений системы, составленной из этих уравнений, такое, где b является целым числом и указать это значение b.
Решаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными и находим ответ. Проще всего первое уравнение умножить на 3 и вычесть из него второе. Получится, что x = 8/(11b - 6). Подставляем этот "х", например, в первое уравнение и находим b.

Жесть конечно))

Надо найти корни уравнений с 'b', потом сравнить эти корни и найти b...

 2x² + (3b-1)x - 3 = 0  

D = (3b - 1)² - 4 * 2 * (-3) = 9b² - 6b + 1 + 24 =

  = 9b² - 6b + 25

 

x1 = (-(3b-1) - √(9b² - 6b + 25)) / 4 

x2 = (-(3b-1) + √(9b² - 6b + 25)) / 4 

*Во втором заменю `x` на `y`, чтобы далее легче сформулировать.

 6y² - (2b-3)y - 1 = 0

D = (2b - 3)² - 4 * 6 * (-1) = 4b² - 12b + 9 + 24 =

  = 4b² - 12b + 33

 

y1 = (-(2b-3) - √(4b² - 12b + 33)) / 12

y2 = (-(2b-3) + √(4b² - 12b + 33)) / 12 

Теперь, чтобы у уравнений был общий корень, надо рассмотреть и решить 4 случая:

 x1 = y1

x1 = y2

x2 = y1

x2 = y2 

x1 = y1:

 (-(3b-1) - √(9b²-6b+25)) / 4 = (-(2b-3) - √(4b²-12b+33)) / 12

// умножу всё на 12, избавиться от дробей.

// слева будет множитель *3, справа просто исчезнет /12



3*(-(3b-1) - √(9b²-6b+25)) = -(2b-3) - √(4b²-12b+33)

-9b + 3 - √(9b²-6b+25) = -2b + 6 - √(4b²-12b+33)



-7b - 3 = √(9b²-6b+25) - √(4b²-12b+33) 

Так, думаю дальше решать "в лоб" нет смысла, там появляются уравнения четвертой степени, с кубами, совсем жесть.

Значит задача предполагает графическое решение...
Надо взять функцию:

 f(b) = 7b + 3 + √(9b²-6b+25) - √(4b²-12b+33) 

и тупо перебрать целые значения b, смотреть, найдется ли b, где значение выражения будет 0. и так с оставшимися тремя случаями. Соболезную)))

Написал программу, тупо перебирающую все целые b:
https://jsbin.com/lafubadumi/edit?js,output

Нужно нажать "run with JS" для результатов.
В данном случае, получается парабола, которая не равняется нулю при целых b.
Остальные 3 проверяй сам) sqrt() - это корень. b**2 — квадрат.