Какой наибольший рациональный корень может иметь уравнение вида aх 2+bx+c = 0,
где a, b и c — натуральные числа, не превосходящие 100?
Даны две концентрические окружности Ω и ω. Хорда AD окружности Ω касается ω.
Внутри меньшего сегмента AD круга с границей Ω взята произвольная точка P . Каса-
тельные из P к окружности ω пересекают большую дугу AD окружности Ω в точках
B и C. Отрезки BD и AC пересекаются в точке Q. Докажите, что отрезок PQ делит
отрезок AD на две равные части.
В клетчатом квадрате между любыми двумя соседними по стороне клетками есть за-
крытая дверь. Жук начинает с какой-то клетки и ходит по клеткам, проходя через
двери. Закрытую дверь он открывает в ту сторону, в которую идёт, и оставляет дверь
открытой. Через открытую дверь жук может пройти только в ту сторону, в которую
дверь была открыта. Докажите, что если жук в какой-либо момент захочет вернуться
в исходную клетку, то он сможет это сделать.
В бесконечной арифметической прогрессии, где все числа натуральные, нашлись два
числа с одинаковой суммой цифр. Обязательно ли в ней найдётся ещё одно число с
такой же суммой цифр?
Известно, что среди нескольких купюр, номиналы которых — попарно различные на-
туральные числа, есть ровно N фальшивых. Детектор за одну проверку определяет
сумму номиналов всех настоящих купюр, входящих в выбранный нами набор. Дока-
жите, что за N проверок можно найти все фальшивые купюры, если
а) N = 2;
б) N = 3
У N друзей есть круглая пицца. Разрешается провести не более 100 прямолинейных разрезов, не перекладывая части до окончания разрезаний, после чего распределить все получившиеся кусочки между всеми друзьями так, чтобы каждый получил суммарно одну и ту же долю пиццы по площади. Найдутся ли такие разрезания, если а) N = 201; б) N = 400?
Домашние задания: Математика
Проверяю себя после олимпиады.
1) Больший корень квадратного уравнения ax²+bx+c=0 где a>0 :x=(-b+√(b²-4ac))/2a
Понятно, что в нашем случае он отрицательный. Нам нужен наибольший, т.е. надо искать наименьший по модулю.
В идеале неплохо бы иметь числителе -1, а в знаменателе 2·100. Однако первое невозможно в принципе, действительно: если (b-1)²=b²-4ac, то 2b-4ac=1
Раз с единичкой не получается, попробуем двоечку ( с минусом).
(b-2)²=b²-4ac, b=ac+1
А это уже невозможно совместить с a=100. т.к. в минимальном варианте (с=1) b=101. Зато все совмещается при a=99, c=1. Тогда будет b=100, а соответствующий рациональный корень уравнения x=-1/99
Т.к. -1 в числителе невозможна, то все другие возможные дроби со знаменателем 2·99 будут по модулю больше 1/99, а меньшим знаменателем - тем более. Теоретически меньше может оказаться только дробь со знаменателем 2·100.
Но для a=100 наименьшее (по модулю) возможное число в числителе это 4 (для получения этого результата надо последовательно рассмотреть уравнения
(b-3)²=b²-4·100c и (b-4)²=b²-4·100c) Соответствующий корень будет равен
х=-2/100=-1/50<-1/99
Это (-1/99) и есть наибольший корень при заданных ограничениях.
4) Сумма цифр числа это число, по модулю например 9 сравнимое с самим этим числом. Если у двух членов прогрессии эти суммы равны, значит разность большего и меньшего из них (тоже натуральное число, т.к. все члены прогрессии натуральные числа) сравнима с 0 (mod 9). Эта разность равна n·d, где d - разность прогрессии, а n - некоторое (вполне определенное) натуральное число, nd≡0 (mod 9)
Но тогда и любое число вида m·nd, где m произвольное натуральное число тоже ≡0 (mod 9). Если A - один из тех членов прогрессии у которых суммы цифр равны, то (A+mn·d) тоже член этой же прогрессии с номером N=mn+N(A), (где N(A) - номер члена А) причем такой номер существует. т.к. по условию прогрессия бесконечна и для него (A+mn·d) (mod 9)= A(mod 9), т.е сумма цифр такая же, как и у А.
Понятно, что в нашем случае он отрицательный. Нам нужен наибольший, т.е. надо искать наименьший по модулю.
В идеале неплохо бы иметь числителе -1, а в знаменателе 2·100. Однако первое невозможно в принципе, действительно: если (b-1)²=b²-4ac, то 2b-4ac=1
Раз с единичкой не получается, попробуем двоечку ( с минусом).
(b-2)²=b²-4ac, b=ac+1
А это уже невозможно совместить с a=100. т.к. в минимальном варианте (с=1) b=101. Зато все совмещается при a=99, c=1. Тогда будет b=100, а соответствующий рациональный корень уравнения x=-1/99
Т.к. -1 в числителе невозможна, то все другие возможные дроби со знаменателем 2·99 будут по модулю больше 1/99, а меньшим знаменателем - тем более. Теоретически меньше может оказаться только дробь со знаменателем 2·100.
Но для a=100 наименьшее (по модулю) возможное число в числителе это 4 (для получения этого результата надо последовательно рассмотреть уравнения
(b-3)²=b²-4·100c и (b-4)²=b²-4·100c) Соответствующий корень будет равен
х=-2/100=-1/50<-1/99
Это (-1/99) и есть наибольший корень при заданных ограничениях.
4) Сумма цифр числа это число, по модулю например 9 сравнимое с самим этим числом. Если у двух членов прогрессии эти суммы равны, значит разность большего и меньшего из них (тоже натуральное число, т.к. все члены прогрессии натуральные числа) сравнима с 0 (mod 9). Эта разность равна n·d, где d - разность прогрессии, а n - некоторое (вполне определенное) натуральное число, nd≡0 (mod 9)
Но тогда и любое число вида m·nd, где m произвольное натуральное число тоже ≡0 (mod 9). Если A - один из тех членов прогрессии у которых суммы цифр равны, то (A+mn·d) тоже член этой же прогрессии с номером N=mn+N(A), (где N(A) - номер члена А) причем такой номер существует. т.к. по условию прогрессия бесконечна и для него (A+mn·d) (mod 9)= A(mod 9), т.е сумма цифр такая же, как и у А.
Max Demon
А как же остальные. Благодарю!!!
Всё проверит комиссия.
Dmitrii Demon
58 271
Кидай решение/рассуждение с ответами - мы тоже проверим.
Или ты формулировки условий хочешь проверить?
(в них редко допускаются ошибки.. Очень редко)
Или ты формулировки условий хочешь проверить?
(в них редко допускаются ошибки.. Очень редко)
А ну раз проверяешь тогда да, тогда я тебе щас все решу и отправлю
Мария Выростко
7 190
Max Demon
Ответьте побыстрее пожалуйста
Сцук ,не давайте этому дауну ничего ,он обманщик
Max Demon
Олимпиада проходила 23 числа. Благодарю!!!
А ну раз проверяешь тогда да, тогда я тебе щас все решу и отправлю
Риш Куделько
262
Похожие вопросы
- На олимпиаду «Изумруд» пришли мальчики и девочки – всего 750 человек. Оказалось, что каждый мальчик знаком ровно
- Олимпиада математика 9 класс срочно!
- НЕ МОГУ РЕШИТЬ ОЛИМПИАДУ ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!
- Помогите с задачей 6 класс по олимпиаде?
- Помогите решить задачку из олимпиады 8 класса
- Задача по олимпиаде
- Олимпиада 9 класс. Математика
- Пж решите на олимпиаде срочно!!!!
- Олимпиада по математике учи.ру «Фальшивый камень» какие ответы для 1-4 кл?
- 5 Задача по олимпиаде, можете помочь?