Всех учили что если производная = 0, то максимум или минимум.

Если правильно помню, то равенство производной нулю - необходимое, но не достаточное условие существования экстремума. Достаточное условие - изменение знака производной при переходе через эту точку. В данном случае этого нет

Надо смотреть не только на равенство нулю первой производной, но и на поведение ВТОРОЙ производной (в более общем случае - производной чётного порядка) .
Когда первые несколько производных равны нулю, то если первая не равная нулю производная имеет ЧЁТНЫЙ порядок и она положительна - у нас минимум, если отрицательная - максимум. А если первая не равная нулю производная - нечётная (как для х в какой-ндь седьмой степени...) , то у нас перегиб.

Вас неправильно учили. Нули производной - это критические точки функции. Перегиб (в Вашем примере) - тоже критическая точка. В этой точке сошлись локальный максимум и локальный минимум.

Если производная равна нулю, то это критическая точка.

Если производнаяя в точке равна 0, то это стационарная точка.
В ней МОЖЕТ быть экстремум,
а может и небыть.
Именно для этого требуется также знать как ведет себя функция на отрезке до и после указанной точки.

Тут все просто если x^2 равна нулю в производной, как в данном случае то будет перегиб и она не будет точкой max или min. Так-как знак у функции не меняется. Также и у других функций с Нечетной! степенью, с Четной! степпенью у функции меняется и становиться эта точка - точкой max или min