Докажите, что все параболы подобны. Что означает все параболы подобны? И как это доказать?

Подобны - значит, "растяжением" пространства в какое-то число раз, переносом, вращением и отражением можно одну фигуру превратить в другую.

Треугольники после этих действий совпали, значит, они подобны.
Теперь конкретно о параболах.
Парабола выражается каноническим уравнением y^2 = 2*p*x. Допустим, у нас есть другая парабола, которая в другой координатной сетке выражается уравнением t^2 = 2*q*z. Поскольку всегда можно перевести одну координатную сетку в другую преобразованиями вращения, отражения и параллельного переноса, то часть задачи решена - вторую параболу перевели в y^2 = 2*q*x (сменили координатную сетку) . Теперь по поводу коэффициентов. В первом - p, в другом - q, они могут быть разными. Тогда вторую параболу можно просто "растяжением пространства" в q/p раз перевести в первую:
Растягиваем
(y*q/p)^2 = 2*q*(x*q/p)
y^2 * q^2 / p^2 = 2*x*q^2 / p
Умножая обе части на p^2 / q^2, сразу получаем уравнение первой параболы
y^2 = 2*p*x
Таким образом, любые две параболы подобны.

Что такое фокус и директриса? Есть ещё одно (эквивалентное первому) определение параболы: парабола - это геометрическое место точек, равноудалённых от некоторой прямой (которая называется директрисой) и точки (фокуса) . Тут тоже элементарно доказывается из геометрических соображений: расстояние сохраняется при параллельном переносе, повороте и отражении, а при "растяжении" сохраняется соотношение расстояний (то есть тот факт, что расстояния до директрисы и фокуса равны, после растяжения тоже остаётся равенством).

Если чуть более систематично, то Вам нужно записать два уравнения квадратичных функций с произвольными коэффициентами и показать, что преобразованием подобия можно одно уравнение перевести в другое. Что из себя представляет преобразование подобия, Булат указал: повороты, параллельный перенос и растяжение-сжатие.