Как представить в дробном виде число с бесконечно повторяющемся периодом позиционного представления?

Довольно просто. Нужно только знать формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

a * q^0 + a * q^1 + a * q^2 + a * q^3 + и т. д. до бесконечности = a / (1 - q)

Любая бесконечная периодическая дробь содержит в себе бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Рассмотрим, например, такое число: 8,6537373737.. = 8,65(37). Его можно представить так:

8,65(37) = 8,65 + 0,00(37) =

= 8,65 + 0,0037 + 0,000037 + 0,00000037 + и т. д.

= 8,65 + (0,0037 * 0.01^0 + 0,0037 * 0.01^1 + 0,0037 * 0.01^2 + и т. д. )

В круглых скобках имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, где а = 0,0037, q = 0,01. Сумма ее равна

0,0037 / (1 - 0.01) = 0,0037 / 0.99 = 37 / 9900

Поэтому всё число равно

8 + 65/100 + 37/9900.

Ну а к общему знаменателю пусть это бабай приводит :-) .

Как представить в дробном виде число с бесконечно повторяющемся

периодом позиционного представления?

Например вот 2/3 = 0,666666666(6) = 0,(6) .Но это я знаю. А как

представить ввиде дроби 0.8(3) или 5.4(5) или 65.98(5) и т. п. ?

2/3 = 0,(6) это мы знаем

далее:

0,(6) можно представить как (1/0.6) - 1

Где 0.6 = дробь 6/10

Проверьте на калькуляторе кстати (1 / 0.6) - 1 =

0,6666666666666666666666666666667 (калк в винде)

Тут логика вот в чём:

Мы одно яблоко рассматриваем с точки зрения числа 3....т. е. мы можем

разделить яблоко на 3 части (равные) и взять ровно 2 (ДВЕ) дольки. Это

будет 2/3

Это логика ДРОБЕЙ.

А логика десятичной системы другая. Тут мы рассматриваем яблоко как 1

(ОДНО) целое. И берём и отрезаем от неё РОВНО 0.(6) в периоде. (да, я согласен, это шизуха полная) .

Можешь на линейке отмерить 1 см и отмерить ровно 0.666666666666666666 и т. п. )))) для наглядности.

Т. е. мы отрезали чуть больше половины. Ну это и есть теже самые 2/3.

С периодами 0,8(3) сложнее. Честно сказать тот же алгоритм действий не даст верного результата. Во всяком случае у меня с наскока не получилось. Единственно что могу тебе посоветовать это:

во-первых любую бесконечность 0,(6) мы фактически таже можем представить как ДРОБЬ.. . правда тогда бесконечная будет дробь.

Суди сам:

0,6 = 6/10

0,66 = 66/100

и т. д.

Т. е. фактически эти неопределённости явлются сами по себе ДРОБЯМИ пусть и бесконечными.

Кстати т. к. твою проблему я не решил, и ещё я думаю что тут тебе врядли ответят.. . Советую тебе обратиться с вопросом на сайт dxdy ...чисто математический форум. Набери в поисковике dxdy найдёшь форум.

УДАЧИ!

на примере 0.(3).
пусть x = 0.(3) => 100*x = 33 + x => 99*x = 33 => x = 1/3. аналогично делаеешь для 0.8(3) = 0.8 + 0.0(3) =>
х = 0.0(3) => 100*х = 3.3 + х и т. д.

во первых 2/3 это 0,6666667, а во вторых зачем тебе переводить в обыкновенные дроби, когда в десятичных проще считать