Естественные науки

Олимпиадная задача по геометрии в МГУ

Точки А, В и С лежат на одной прямой. Отрезок АВ является диаметром одной окружности, а отрезок ВС - диаметром второй окружности. Прямая, проходящая через точку А, пересекает первую окружность в точке D и касается второй окружности в точке Е. Известно, что BD = 9, BE = 12. Найти радиусы окружностей. Уж очень хочется наконец уже узнать как ее правильно решать....
АЖ
Артем Жданов
2 525


P.S. Дайте г-ну Черри десятку, он оказался шустрее.
Аслан .
Аслан .
53 942
Лучший ответ
Жанар Канапина Можно даже проще, - всё получается через подобие треугольников. FВ находится из подобия BDE и BMF, где М - середина BE. Дальше - рассматриваем подобие AEF и ADB.
Артем Жданов Лариса, а поясните - почему угол ADВ - прямой? От куда это следует?
В общем задачка хитрая, долго возился с одним вариантом (верхним) - сделал несколько разных выкладок, но получил один и тот же нехороший результат, пока не сообразил, что может быть и второй



В общем сначала о верхнем (r2 - правая окружность, а r1 - левая) :
там довольно все просто - очевидно, что углы ADB и AEO - прямые. Поэтому, из подобия треугольников, сразу видно что BD=2*r1*r2/(2*r1+r2)
для BE я использовал просто теорему косинусов, поэтому BE²=2*r2²*(1-cos(O)), где cos(O) очевиден и равен r2/(2*r1+r2)
решая эту систему получил r2=8, а r1=-36. Отрицательный знак и смутил и подкинул догадку, а получал я его всегда :)

Вот тут и смотрим на нижний вариант.
там (следуя тому же, что углы ADB и AEO1 - прямые) из подобия
BD=2*r2*r1/(2*r2-r1)
из Пифагора AE=2*sqrt(r2²-r1*r2)
ну и записав снова по теореме косинусов, что
BE²=4*r2²+AE²-4*r2*AE*cos(A), где cos(A)=AE/(2*r2-r1)
получаем второе уравнение системы

Решая их получаем уже правильный ответ в виде r1=8, а r2=36
Наталия Батанова
Наталия Батанова
69 291
Жанар Канапина Можно даже проще, - всё получается через подобие треугольников. О1В находится из подобия BDE и BMO1, где М - середина BD.
Милая Алина! Вы конечно извините, но подобные задачи на ночь глядя.. .
Завтра посмотрю, ага? Но ничего не обещаю, только если смогу!
СЕ
Света Егоршина
30 667
Артем Жданов хорошо) но вы уж постарайтесь по-раньше написать, пожалуйста, а то я ведь так и не усну)))))
BD и BE это дуги, а не хорды. С хордами задача легко решается. Здесь нужно искать отношение двух диаметров, чтобы найти синус угла EAB.
Звёздочка Ясная
Звёздочка Ясная
14 337

Похожие вопросы