Естественные науки

Интригующая олимпиадная задача по геометрии

В треугольнике ABC на его медиане BM отмечена точка K так, что BK:KM=8:5. Прямая AK пересекает сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AKM.

Бьюсь уже час, помогите пожалуйста. Лучший ответ гарантирован.
ЕС
Евгений Седых
758
Рисуем прямую параллельную AC и проходящую через точку B. Точку пересечения этой прямой с AK обозначим как L

Тогда по равенству трёх углов треугольники LKB и AKM подобны.
BL = AM * 8/5

И их площади соотносятся как:
Slkb = Sakm * (8/5)² = Sakm * 64/25

И треугольники APC и LPB также подобны.
BL / AC = BL / (2*AM) = (AM * 8/5) / (2*AM) = 8 / 10 = 4 / 5

Решим систему:
PL / (AK + KP) = 4 / 5
AK / (KP + PL) = 5 / 8

5*PL = 4*AK + 4*KP
8*AK = 5*KP + 5*PL

8*AK = 5*KP + 4*AK + 4*KP
4*AK = 9*KP
KP = AK * 4/9

Теперь самое интересное, главное не запутаться в буквах (если раньше можно было без рисунка, то теперь рисунок обязательный, иначе запутаетесь). Итак, опустим высоту треугольник AKM из точки K и назовём её h. Тогда высота треугольника APC опущенная из P будет равна
H₁ = h * (AK + KP)/AK = h * 13/9 - тут правда формально надо доказать подобие образованных прямоугольных треугольников, но мне влом, а там всё очевидно :))

А высота треугольника LPB, так как он подобен APC, равна
H₂ = H₁ * 4/5 = h * 52/45

тогда
Sakm = h*AM/2
Slpb = H₂*BL/2 = (h * 52/45 * AM * 8/5)/2 = (h*AM/2) * 416/225 = Sakm * 416/225

Sbkp = Slkb - Slpb = Sakm * 64/25 - Sakm * 416/225 = Sakm * (64/25 - 416/225) = Sakm * (576 - 416)/225 =
= Sakm * (576 - 416)/225 = Sakm * 160/225 = Sakm * 32/45

Ну и ответ на задачу:
Sbkp / Sakm = (Sakm * 32/45) / Sakm = 32/45 = 0.7(1)
ЖЕ
Жамбыл Ермекбаев
42 958
Лучший ответ
Евгений Седых Лучший ответ ваш.
Евгений Седых Спасибо большое за подробное решение.
Алексей Романов А я завершающий этап придумал среди ночи; встал, хотел написать ответ... И встретил ваше решение. Поздравляю!
Всё же, возможно, приведу своё.
Алексей Романов Если пожелаете, можете см. мой ответ.
Александр Оренбуркин Вторая часть решения лишняя, сейчас достаточно вспомнить теорему об отношении площадей, имеющих равные углы, и записать отношение сторон, заключающих их. И как раз получим ответ: 32/45.
А ты не парься.
Исходи из того, что задача верна для любого треугольника.
Возьми прямоугольный треугольник с известными сторонами.
Засунь его в декартовы координаты.
По Пифагору найди координаты точек К и П.
По координатам найди длины сторон интересующих тебя треугольников.
По Герону найди площади.
Посчитай их соотношение.
АП
Анатолий Поздеев
89 989
*******akbota******** Emberlieva Из общего к частному - как грубо.
Евгений Седых Наш наставник слишком консервативен, чтобы принять такое "решение".
В треугольнике АКМ проведём две высоты: КЕ (к стороне АМ) и МН (к стороне АК). В треугольнике АРС проведём высоту РТ (к стороне АС), в треугольнике ВКР - высоту ВО (к стороне КР). Они будут нужны в дальнейшем.
Для краткости записи, например, площадь треугольника АВМ будем обозначать просто АВМ.
Искомое отношение ВКР/АКМ= х=? Выкладки дальше не буду сопровождать объяснениями (используются в основном подобия треугольников и формула их площади): надеюсь, всё будет понятно, особенно после решения Матвейчука.
АВМ/АКМ= (5+8)/5= 13/5= МВС/АКМ= (ВКР+РКМС) /АКМ= х+РКМС/АКМ= х+(АРС-АКМ) /АКМ= х-1+АРС/АКМ= х-1+ 0,5АС*РТ/(0,5АМ*КЕ) = х-1+2РТ/КЕ= х-1+2АР/АК= х-1+2(АК+КР) /АК= х-1+2+2КР
/АК. Отсюда х= 13/5-2КР/АК или х= 8/5-2КР/АК. Обозначая КР/АК= у, получаем:
х= 8/5-2у (1).
Далее можем написать: х= ВКР/АКМ= 0,5КР*ВО/(0,5АК*МН) = у*ВО/МН= у*КВ/КМ= 8/5*у. Т. е.
х= 8/5*у (2).
Решая совместно (1) и (2), находим: х= 32/45.
Алексей Романов
Алексей Романов
64 889
Евгений Седых Тоже достойной решение, спасибо.
Алексей Романов Вот решение, ещё проще. Чертим схему крупнее, чтобы можно было написать обозначения площадей внутри полученных частей треугольника. Соединим отрезком точки Р и М, внутри треугольника РМС напишем его площадь р. Площади ВКР и АКМ обозначим соответственно х и у, и напишем эти обозначения внутри этих треугольников. Поскольку треугольники АКМ и АВК имеют общую высоту с вершины А, то их площади пропорциональны основаниям КМ и ВК. Поэтому пл. АВК= ВК/КМ*пл. АКМ= 8/5*у. Внутри АВК напишем «8у/5». Так же площади МКР и ВКР пропорциональны КМ и ВК (поскольку эти треугольники имеют общую высоту с точки Р). Внутри МКР напишем «5х/8». (Оконч. следует.)
Доказываете подобие треугольников с помощью двух углов (одни вертикальные, вторые равны по сумме). Далее получаем: MK/KP=AM/BP=AK/BK. Отношение BK и KM мы знаем, поэтому:
MK/KP=AK/BK;
MK*BK=KP*AK;
BK=8MK/5;
8MK^2=KP^2 (доказательство равенства отрезков KP и AK строится на основе Th Фалеса ( Если на одной из двух прямых отложить последовательно равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки);
KP=MK(8/5)^(1/2) (степень 1/2 - это корень второй степени);
MK/KP=MK/MK(8/5)^(1/2)=(8/5)^(1/2). Это есть коэффициент подобия треугольников. Отношение их площадей равно квадрату этого числа:
Sakm/Sbkp=0,625. Вот так)
Бибигуль Омарова
Бибигуль Омарова
1 299
Жамбыл Ермекбаев у Вас где-то ошибка. Ответ другой. и думаю она допущена в первом предложении.
Проведите, пожалуйста, подробнее доказательство подобия треугольников, потому что они не подобны (если речь про AKM и BKP).
Евгений Седых Ошибка, правильный ответ 32/45, но спасибо за участие.

Похожие вопросы