почему комплексные числа используются в физике и электротехнике достаточно широко зачем в этих науках понятие корня с м

Вещественные числа не являются полной замкнутой системой чисел. Поэтому в рамках только вещественных чисел, многие вещи в физике (и, конечно, в математике) или невозможно доказать или доказательство очень громоздкое и трудное для понимания.
Комплексные числа это самое полное понятие числа, какое только возможно в коммутативной математике, то есть в такой математике, где от перестановки мест слагаемых сумма не меняется и от перестановки мест сомножителей произведение не меняется. Полнота понятия числа является секретом математической мощи комплексных чисел. Обобщения понятия комплексного числа, кватернионы, уже не являются коммутативными относительно операции умножения.
Поэтому в любой науке любая математика должна по идее быть математикой комплексных чисел. По другому просто невозможно. Но дело в том, что из всех наук, только физика (и ее ближайшие сестры, типа астрономии) наиболее математизирована. И математические методы наиболее сильно проникли в физику. В отличие от биологии, истории, политологии и др. , куда математика не проникла так глубоко.
Поэтому создается такое впечатление, что, якобы, в физике есть комплексные числа, а в других науках их нет. На самом деле по мере развития других наук и по мере их математизации, комплексные числа вылезут и там тоже. Вспомните, что 150 лет назад в физике не было никаких комплексных чисел, хотя математики во всю с ними уже работали. Просто физика в те времена еще не была так математизирована, как сейчас.

понятие корня тут практически не при чем.

комплексные числа удобно представляют двумерные объекты, причем сложение получается как у векторов, а умножение соответствует повороту.

те же ряды Фурье, так любимые в обработке сигналов и радиотехнике можно выписывать и без комплексных чисел, одними синусами и косинусами - но формулы будут вдвое длиннее и вдвое непонятнее.

в самом деле, расширение матанализа на комплексную плоскость - это очень естественная операция. Например, после нее становится понятно сходство между тригонометрическими и гиперболическими функциями, сразу становятся красивыми теоремы, которые были некрасивыми на прямой.

ну для примера: степенной ряд на прямой может сходиться внутри отрезка сходимости, а на границах может сходиться или не сходиться - непредсказуемо и непонятно от чего это зависит.
а вот в комплексных числах все теоремы о сходимости абсолютно такие же, но любой ряд сходится в круге, на границе которого лежит точка разрыва функции.

Использование комплексных чисел и мнимой единицы i позволяют существенно упростить промежуточные выкладки. Вот так выглядит каноническое представление формулы
Кардано для решения кубического уравнения. Как видите, в записи формул присутствует мнимая единица i. На практике, применение формулы приведет к тому, что у вас получится либо три вещественны корня, либо один вещественный и два комплесных. В свое время, умение решать кубическое уравнение было очень акутальной задачей, поскольку таким образом расчитывались регуляторы давления паровых машин, в частности регулятор Ватта.

Сейчас, по тем же самым причинам комплесные числа и мнимая единица i.используются в научных расчетах и в расчетах схем переменного тока. Причина прежняя - расчеты выполняются проще и они наглядней. В определенных задачах комплексный ответ дает сразу две важных характеристики. Например, при расчете электрического колебательного контура получилась комплексаная частота. Что это значит? Все очень просто. Действительная часть комплексной частоты - это частота в привычном понимании, связанная с периодом колебаний. Мнимая часть частоты описывает время затухания сигнала. И таких примеров много, когда одно комплексное число дает сразу два ответа.

В электротехнике описываются фазы, которые могут быть положительными и отрицательными, при формулах с корнем позволяет обеспечить более универсальную запись.
В физике.. . не встречал, приведите пожалуйста пример.