Где больше точек - в отрезке длиной 1см или отрезке длиной 3см?

В сноске доказательство, если применить к твоему случаю не корректно. Отрезки расположить так, чтобы на луче из точки О,
были точки А и А1, и В и В1 соответсвенно. Тогда отлично .
Можно проще : точке s из мн-ва АВ ставится точка 3*S в А1В1,
И обратно. (S координата точки s)
Соответсвие взаимно однозначное.

Два множества X и Y, между которыми можно установить взаимно однозначное соответствие, называются равномощными (или эквивалентными) .

http://www.pm298.ru/func3.php

Вопрос некорректный - к бесконечным множествам неприменимы понятия "больше" и "меньше". Мощности множеств, как уже написали, одинаковы.

мощность множеств точек, принадлежащих обоим отрезкам одинакова

Ну тут типичная игра определений :-) смотря как определять точку, как определять отрезок, как определять бесконечность и т. п. . Предлагаю так: задать количество точек как функцию от плотности точек, посчитать предел отношения количества точек обоих отрезков при равной плотности, стремящейся к бесконечности. . В трёх сантиметрах получится в 3 раза больше :-)

В обоих случаях их бесконечное множество

Точка не имеет ни длины, ни ширины, потому в обоих отрезках их бесконечное множество

И там и там количество точек-бесконечность.

На любом отрезке можно разместить бесконечное множество точек. Ответ - одинаковое кол-во.

Смотря каких точек.

а ты ее видела хоть раз, эту точку?? ? вот тебе и ответ