Как это понять, что меньший отрезок это часть большего отрезка, а точек у обоих отрезков одинаковое количество?

И в том и в другом отрезке бесконечное количество точек. Бесконечность не число, а особое понятие, ситуация. Бесконечности равны друг другу, то есть бесконечность, умноженная на два, к примеру, остается ровно той же бесконечностью.
Хуже того, в квадрате, например, столько же точек, сколько в его стороне - и там и там бесконечность, а бесконечности равны. Хотя бывают неравные бесконечности, но отличия должны быть более существенными. Недаром, наверно, изобретатель математики бесконечностей Георг Кантор закончил свою жизнь в сумасшедшем доме ;)

Если говорить о крайних точках то их как бы 2е.
И в большем и в меньшем.

Как это понять, и как это доказать- вещи разные. Доказать (показать) , что точек на бОльшем и мЕньшем отрезках "одинаковое количество" - не трудно. Нарисуйте два отрезка паралельнодруг другу. Верхний короче, а нижний длиннее. Проведите прямую, которая проходит через левые концы этих отрезков. А теперь проведите прямую проходящую через правые концы этих отрезков. Эти две прямые, что Вы провели пересекаются в одной точке. Так вот - какую бы новую прямую Вы не провели из этой точки, которая будет проходить между теми двумя прямыми, что Вы пров5ели через концы отрезков - будет пересекать оба эти отрезка - каждый в одной точке. И таким образом Вы увидите, что не существует ни одной точки на бОльшем отрезке, через которую нельзя будет провести такую "секущую" пряму, и которая не укажет "эквивалент" этой точки на мЕньшем отрезке. Вот и получается, что чточек на обоих отрезках "одинаковое количество". Это если доказать - показать. А вот с понять - сложнее. Понять - значит привыкнуть. Вас сбивает желание говорить о двух соседних соприкасающихся точках. По аналогии с двумя мА-аленькими кружочками. Но дело в том, что соведних точек не бывает. Между любыми двумя точками найдется еще как минимум одна. Это свойство называется - всюдуплотностью. Доказать его тоже легко. каждой точке соответствует число на числовой прямой. Для любых двух чисел можно вычислить среднее арифметическое - число которое соответствует "серединной" точке между любыми двумя изначально выбранными точками. Таким образом получается, что соседних точек - не бывает.

У меньшего отрезка расстояние между точками меньше.

Чтобы понять это, давайте вспомним, как мы доказываем, что два конечных множества (например винтиков и шпунтиков) имеют одинаковое число элементов. Один из способов - разбить все детали на пары, чтобы каждому шпунтику соответствовал свой винтик и наоборот. Ясно, что тогда множества будут иметь одинаковое количество элементов (или говорят, что они будут равномощны, будут иметь одинаковую мощность) . Пусть теперь у нас есть отрезок от 0 до 2 и отрезок от 0 до 1. Будем считать, что все точки первого синие, а второго красные (не страшно, что некоторые точки будут иметь два цвета, они для нас будут двумя разными точками) . Возьмем красную точку, находящуюся на расстоянии х от нуля и объединим ее в пару с синей точкой, находящейся на расстоянии 2х от нуля. Можно заметить, что таким образом мы разбили все точки на пары (каждой красной соответствует одна синяя и наоборот) . Т. е. добились того же, чего мы добивались с равномощными конечными множествами. Значит вполне логично считать, что наши бесконечные множества имеют одинаковую мощность.