Как решить систему из 2-х уравнений с 3-мя неизвестными?

Если число уравнений в системе меньше числа неизвестных, то такая система называется недоопределённой. Она, как правило, имеет бесчисленное множество решений, но может иметь только одно решение или не иметь решений вовсе!
Чтобы решить такую систему, можно одну из переменных выбрать в качестве параметра, и решить систему уже с двумя неизвестными, но с параметром. В ответе записать равенство выбранной переменной параметру, и две другие переменные, как функции от параметра.
Рассмотрим такую систему двух уравнений с двумя неизвестными:

x + 2y - 3z = 14
5x - y + 2z = 3

Выберем, скажем, переменную х в качестве параметра и обозначим его t:

t + 2y - 3z = 14
5t - y + 2z = 3

Теперь преобразуем систему так, чтобы при алгебраическом сложении уравнений исключилась какая-то переменная, но не параметр, и выразим оставшуюся переменную через этот параметр.

Например, чтобы исключилась переменная z, умножим первое уравнение на 2, а второе - на 3

2t + 4y - 6z = 28
15t - 3y + 6z = 9

Сложим эти уравнения:

17t + y = 37

Отсюда

y = 37 - 17t

теперь это значение y можно подставить в любое из уравнений и выразить z через t. Но можно снова воспользоваться методом сложения так, чтобы теперь исключилась переменная y. Для этого, перепишем просто первое уравнение, а второе умножим на 2:

t + 2y - 3z = 14
10t - 2y + 4z = 6

Сложим уравнения:

11t + z = 20

Отсюда

z = 20 - 11t

Ответ следует записать так:

x = t
y = 37 - 17t
z = 20 - 11t

Это - общее решение системы из 2-х уравнений с 3-мя неизвестными.
Если вместо t подставить какое-то конкретное число, то получится частное решение системы в том смысле, что полученная тройка чисел будет обращать каждое уравнение системы в верное числовое равенство, но кроме такой тройки этим свойством обладают и другие тройки чисел - всего таких троек бесконечно много.

Например, если положить t = 2, то получим

x = 2
y = 3
z = -2

-

частное решение системы.