Что означает интегрируема ли функция? то есть сходится ли она, что-ли?

Есть разная интегрируемость: по Ньютону-Лейбницу, по Риману, по Лебегу, по Жордану, по Стилтьесу.
В общем, интегрируемость, значит можно ли подсчитать площадь между осью Ox и графиком функции. По-школьному.

Интегрируемая на отрезке функция, это такая функция, интеграл которой на данном отрезке существует. Разумеется, отрезок может быть и бесконечной длины.

Это совсем не значит, что интегрируемая функция обязательно должна быть производной от какой-то другой функции.

Это совсем не значит, что функция не должна иметь разрыв. Многие функции, имеющие изолированные разрывы, являются интегрируемыми.

Интеграл, это предел. Вы разбиваете площадь между графиком функции и отрезком на оси Х на квадраты и считаете сумму площадей всех квадратов. Из-за того, что график функции кривой, часть площади будет не подсчитанной. Поэтому для увеличения точности уменьшают размер квадратиков и увеличивают их количество. Если при этом сумма площадей всех квадратиков сходится к какому-то конкретному пределу, то функция интегрируема на данном отрезке. А если эта сумма растет до бесконечности, то это неинтегрируемая функция.

Реально квадратики никто не рисует. Реально и интеграл невозможно вычислить по формулам. Но часто нужно выяснить, интегрируемая данная функция или нет. Для этого применяют разные критерии (Ньютона-Лейбница, Римана, Лебега, Жордана, Стилтьеса) , в зависимости от того, какой из них можно применить.

Нет, это означает, что она является производной какой-то другой функции.

имеет функция разрыв - не интегрируемая