Какие есть доказательства того, что прямая состоит из точек?

Похоже, в этом вопросе смешаны мухи и котлеты.
Разделение прямой на точки - это часть алгебраизации геометрии (в основе лежит метод координат), в которой изначально прямые, точки и плоскости - различные объекты. Однако, это чрезвычайно помогает алгебре - когда прямая или любая кривая интерпретируется как множество точек.
Тогда "числовая прямая", как одномерная система координат - это удобная интерпретация множества R с теми свойствами, которые нам нужны - упорядоченность, непрерывность итд....
Вообще, в математике понаделали кучу моделей под самые разные нужды. "Отрезочными" моделями (кому и под какую задачу нужно задавать отрезок, который нельзя делить?) можно считать дискретное множество с заданным порядком и очевидной метрикой (например, в выборочных обследованиях нужно заменить не давшего ответ респондента близким значением, если про него известны некоторые дискретные параметры), или пространство с вероятностной мерой - там тоже в случае непрерывных распределений от точечных объектов народному хозяйству толку немного (хотя и там все намного сложнее).

Это не нуждается в доказательствах, это входит в правила игры.

вообще-то это аксиомы

Приносите любую прямую - покажу пальцем точки, которые её составляют.

Никаких. Более того, ваше утверждение само по себе бессмысленно.

Нет даже доказательств того, что прямая есть.

Не существует ни каких прямых - это абстрактная модель и в этой модели договорились считать, что прямая состоит из точек.

Нет доказательств.