Предел функции

Вот я сходу не смог придумать пример для предела-конечного числа. Понятно, что односторонний предел не есть даже односторонняя непрерывность (и не то, что непрерывность на каком-то интервале сбоку). Но тот факт, что он существует, говорит о том, что с этой стороны есть окрестность (по Коши), но она может "ужиматься" к точке разрыва по мере уменьшения эпсилона. И поэтому оступить в сторону нинасколько не выйдет.

Функция считается непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна на интервале (a;b) и односторонне-непрерывна на концах. Но в этом случае, мы как раз от конца отступить можем, по условию у нас все хорошо на интервале.

EDIT: О, кажется придумал: давайте сжимать функцию Дирихле с двух сторон к нулю!

f(x) = x, если x - иррациональное
= 0, если х - рациональное

нет. функция может быть разрывна везде, кроме этой точки.

возьми функцию Дирихле: D(x)=1 в рациональных х и 0 в иррациональных х. Рассмотрим x*D(x), в нуле предел 0 (докажи!), ни в одной другой точке функция не является непрерывной.

Как это "или бесконечность" - это предела нет. Существование предела не даёт непрерывность. Это совсем разные вещи. Ведь предел может у функции существовать в точке, а значение функции может не совпадать с этим пределом. То есть тогда и нет непрерывности в точке. А уж что там в окрестностях творится вообще предсказать нельзя.