Помогите с теорией вероятности, пожалуйста! Совсем уже запуталась...

Основная трудность - в понимании условия и попытке свести его к более простому и понятному. Применение формул - дело техники.
Ситуация обстоит так, что каждое изделие либо имеет дефект, либо не имеет его (вероятность дефекта дана и равна р).
Если дефект есть, он обнаруживается контролёром и изделие бракуется с вероятностью р1.
Но если дефекта нет, то изделие всё равно может забраковаться - с вероятностью р2.
Поэтому, вообще говоря, возможны четыре взаимоисключающих и взаимодополняющих случая:

1) Изделие не имеет дефекта и не бракуется
2) Изделие имеет дефект, но не бракуется
3) Изделие не имеет дефекта, но бракуется
4) Изделие имеет дефект и бракуется.

Судя по условию, вероятность р1 относится только к тому случаю, когда дефект есть, а р2 - когда его нет.
Очевидно также, что судьба любого изделия обязательно принадлежит одному и только одному из четырёх приведённых выше случаев.
Тогда наличие дефекта в изделии и дальнейшая его проверка, зависящая от того, есть ли он или нет, рассматриваются как независимые события, а значит, вероятность каждого из случаев равна произведению вероятностей событий, в него входящих.

Разберём сначала первый случай. Изделие не имеет дефекта с вероятностью (1 - р), как следует из условия. В таком случае оно считается доброкачественным, но всё равно либо бракуется, либо нет. Не бракуется оно с вероятностью (1 - р2). Поэтому вероятность первого случая (изделие не имеет дефекта и не бракуется) равна (1 - р) (1 - р2).
Теперь рассмотрим второй случай. Здесь изделие имеет дефект с вероятностью р. Тогда оно тоже либо бракуется, либо нет. Не бракуется оно с вероятностью (1 - р1). Поэтому вероятность второго случая равна р (1 - р1).
Аналогично можно найти вероятности остальных двух случаев. Здесь они будут выписаны для удобства:

1) (1 - р) (1 - р2)
2) р (1 - р1)
3) (1 - р) р2
4) рр1

Можно проверить, что указанные четыре случая действительно образуют полную группу событий, т. е. сумма их вероятностей равна 1:

(1 - р - р2 + рр2) + (р - рр1) + (р2 - рр2) + рр1 = 1. Это верно.

Найдём вероятность того, что изделие будет квалифицировано правильно. Это возможно в первом и четвёртом случаях. Поскольку события несовместны, то просто складываем их вероятности:

рр1 + (1 - р) (1 - р2)

Можно обозначить для удобства эту вероятность какой-нибудь одной буквой, например, р3.

Дальнейшее просто. Если изделие квалифицируется правильно с вероятностью р3, то в партии из N изделий все изделия будут квалифицированы правильно с вероятностью р3^N (р3 в степени N), поскольку квалифицируются независимо. Возможны тут два взаимоисключающих случая - либо все квалифицируются правильно, либо хотя бы одно - неправильно. Вероятность последнего случая нам и нужна. Очевидно, она равна 1 - р3^N

Подставляя вместо р3 выражение для него, получаем окончательный ответ:

1 - (рр1 + (1 - р) (1 - р2))^N