Помогите с теорией вероятности!

Выигрывает один билет!!!)

ответ: НЕВЕРОЯТНО !!!

I. Случайные события. Основные формулы онлайн

1. Основные формулы комбинаторики

Число перестановок
Pn=n!=1⋅2⋅3⋅...⋅(n−1)⋅n
Число размещений
A
n
m
=n⋅(n−1)⋅...⋅(n−m+1)

Число сочетаний
C
m
n
=
A
m
n
Pm

=
n!
m!⋅(n−m)!

2. Классическое определение вероятности

P(A)=
m
n

,
где m - число благоприятствующих событию A исходов, n - число всех элементарных равновозможных исходов.

Подробнее о классической вероятности см. в онлайн-учебнике и калькуляторах решений.

3. Вероятность суммы событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)
Теорема сложения вероятностей совместных событий:

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)
Примеры решений и теория по алгебре событий тут.

4. Вероятность произведения событий

Теорема умножения вероятностей независимых событий:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B)
Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

P(A⋅B)=P(A)⋅P(B|A),P(A⋅B)=P(B)⋅P(A|B).
P(A|B) - условная вероятность события A при условии, что произошло событие B,

P(B|A) - условная вероятность события B при условии, что произошло событие A.

Подробнее об условной вероятности.

5. Формула полной вероятности

P(A)=
n
∑
k=1 P(Hk)⋅P(A|Hk),
где H1,H2,...Hn - полная группа гипотез.

6. Формула Байеса (Бейеса). Вычисление апостериорных вероятностей гипотез

P(Hm|A)=
P(Hm)⋅P(A|Hm)
P(A)

=
P(Hm)⋅P(A|Hm)
n
∑
k=1 P(Hk)⋅P(A|Hk)

,
где H1,H2,...Hn - полная группа гипотез.

Примеры и теория на эту тему.

7. Формула Бернулли

Pn(k)=C
k
n
⋅pk⋅(1−p)n−k=
n!
k!⋅(n−k)!

⋅pk⋅(1−p)n−k
вероятность появления события ровно k раз в n независимых испытаниях, p - вероятность появления события при одном испытании.
Еще полезное по формуле Бернулли теория и примеры, онлайн-калькуляторы.

8. Наивероятнейшее число наступления события

Наивероятнейшее число k0 появления события при n независимых испытаниях (где p - вероятность появления события при одном испытании):

np−(1−p)≤k0≤np+p.
Вычислить наивероятнейшее значение онлайн.

9. Локальная формула Лапласа

Pn(k)=
1
√
npq

φ(
k−np
√
npq

)
вероятность появления события ровно k раз при n независимых испытаниях, p - вероятность появления события при одном испытании, q=1−p.
Значения функции φ(x) берутся из таблицы.

10. Интегральная формула Лапласа

Pn(m1,m2)=Φ(
m2−np
√
npq

)−Φ(
m1−np
√
npq

)
вероятность появления события не менее m1 и не более m2 раз при n независимых испытаниях, p - вероятность появления события при одном испытании, q=1−p.
Значения функции Φ(x) берутся из таблицы.

Теория и примеры на формулы Муавра-Лапласа.

11. Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности p
P(|
m
n

−p|≤ε)=2Φ(ε⋅
n
√
p(1−p)

)
ε - величина отклонения, p - вероятность появления события.