По-русски, но предупреждаю, что историю вопроса знаю плохо: алгебраические уравнения с действительными коэффициентами люди решали, потребность в комплексных числах появилась - комплексные корни "красивыми свойствами" обладали с т. зр. разложения многочленов на множители.
Вот что это означает не по-русски: комплексные числа образуют алгебраическое замыкание поля действительных чисел, оно существует и единственно с точностью до изоморфизма. Но это не значит, что нельзя ввести для комплексных чисел другое определение.
Сейчас в учебниках определяют комплексные числа через пары действительных чисел; значит, так удобнее.
Естественные науки
Каким образом был получен класс комплексных чисел?
.
Исторически класс комплексных чисел был открыт при изучении алгебраических уравнений n-ой степени. Типа таких
aX^n+bX^(n-1)+ ..+cX^2+dX+e=0
Математики заметили, что несуществующие решения с четными корнями из отрицательных чисел формально тоже являются решениями таких уравнений.
Например, при решении квадратного уравнения
aX^2+bX+c=0
в качестве решения могут получаться несуществующие решения с отрицательным дискриминантом. Но формально, если такие решения подставить в уравнение, то уравнение будет удовлетворяться.
.
А если не исторически, а логически, то комплексные числа появляются при попытке обобщить понятие умножение плоскости на точку. Когда Вы задаете умножение прямой (одномерное пространство) на точку (число) этой прямой, то при умножении на отрицательное число происходит нелогичная инверсия прямой относительно нулевой точки. При обобщении умножения на двумерное пространство помимо растяжения пространства относительно нуля появляется еще и вращение пространства относительно нуля. А инверсия при умножении на отрицательное число является просто частным случаем поворота на 180 градусов.
Обобщить умножение на трехмерное пространство уже не удается. В четырехмерном пространстве обобщить умножение можно, но оно уже будет не коммутативным.
.
Исторически класс комплексных чисел был открыт при изучении алгебраических уравнений n-ой степени. Типа таких
aX^n+bX^(n-1)+ ..+cX^2+dX+e=0
Математики заметили, что несуществующие решения с четными корнями из отрицательных чисел формально тоже являются решениями таких уравнений.
Например, при решении квадратного уравнения
aX^2+bX+c=0
в качестве решения могут получаться несуществующие решения с отрицательным дискриминантом. Но формально, если такие решения подставить в уравнение, то уравнение будет удовлетворяться.
.
А если не исторически, а логически, то комплексные числа появляются при попытке обобщить понятие умножение плоскости на точку. Когда Вы задаете умножение прямой (одномерное пространство) на точку (число) этой прямой, то при умножении на отрицательное число происходит нелогичная инверсия прямой относительно нулевой точки. При обобщении умножения на двумерное пространство помимо растяжения пространства относительно нуля появляется еще и вращение пространства относительно нуля. А инверсия при умножении на отрицательное число является просто частным случаем поворота на 180 градусов.
Обобщить умножение на трехмерное пространство уже не удается. В четырехмерном пространстве обобщить умножение можно, но оно уже будет не коммутативным.
.
На множестве упорядоченных пар вещественных чисел (a, b) введены операции таким образом, что получилось поле.
Игорь Андреев
73 500
Похожие вопросы
- Нужна простая задача с решением как пример, где проявлялась бы польза использования комплексных чисел.
- Как сравнивать комплексные числа?
- Где встречаются комплексные числа и зачем они вообще нужны?
- Вопрос про комплексные числа
- Что такое комплексное число, простым языком для гуманитария?
- Комплексное число z можно определить как упорядоченную пару вещественных чисел (x,y). Как это понять?
- Почему фазу сигнала описывают комплексными числами? В чем проблема сделать это действительными?
- Здравствуйте, уважаемые ученые! Какой физический смысл мнимой единицы, ну или мнимой составляющей комплексного числа.
- Зачем нужны комплексные числа и как они могут пригодиться в физике?
- Объясните что такое комплексные числа. Я закончил 8 класс только,
а) добавлением мнимой единицы ко множеству действительных чисел;
б) добавлением мнимой единицы ко множеству рациональных чисел;
в) расширением множества натуральных чисел.