как вынести множитель из-под знака корня?

Можно разложить число под корнем на простые множители.
Посмотреть, какой простой множитель повторяется дважды, четырежды, шесть раз и т. д. (чётное число раз).
Затем воспользоваться формулой: корень из произведения равен произведению корней.
При вынесении окажется так, что корень из произведения двух одинаковых простых множителей равен самому этому простому множителю. Вынести таким образом все пары одинаковых множителей за знак корня, уменьшив их число в 2 раза и одновременно избавившись от корня. Непарные множители останутся под корнем. После этого перемножить обратно то, что вынесено за знак корня, и то, что осталось под корнем.

Пример: sqrt(5040)

Разлагаем 5040 на простые множители: 5040 = 2*2520=2*2*1260=2*2*2*630=2*2*2*2*315=2*2*2*2*3*105=2*2*2*2*3*3*35=2*2*2*2*3*3*5*7.

Видим, что множитель 2 повторяется 4 раза, множитель 3 - 2 раза. При вынесении их число уменьшается вдвое. У множителей 5 и 7 пар нет - они остаются под корнем.

Поэтому sqrt(5040) = 2*2*3*sqrt(5*7) = 12*sqrt(35)

В частности, если все простые множители - парные, то корень извлекается нацело.

Если нужно вынести множитель из-под знака не квадратного корня, а кубического, 4-й, 5-й степени и т. д., то методика та же, за исключением того, что одинаковых простых множителей нужно собрать не по 2, а по 3, по 4, по 5 шт. соответственно, и при вынесении берётся только один множитель из каждой такой группы. То, что осталось, остаётся под корнем.

извлечь корень

Вместе с корнем: sqrt(a*b) = sqrt(|a|)*sqrt(|b|), где |a| означает "модуль a"