Естественные науки

интеграл. разбиваем круг на треугольники. Почему не получается?

Итак, хочу посчитать площадь круга с помощью интеграла. Разбиваю круг на прямоугольные треугольники, в которых одна вершина лежит в центре круга, вторая на окружности, а третья вершина является вершиной прямого угла.
Таким образом получается, что площадь одного такого треугольника
s = (r*sin(x))*(r*cos(x))/2

Если значение x будет стремиться к нулю, то сумма площадей всех треугольников будет равна площади круга (или будет стремиться к ней... не знаю как правильно говорится). Значит S = ∫s*dx = ∫(r^2*sin(x)*cos(x)/2)*dx = -1/4 *r^2 *cos^2(x) + C

Если x равно нулю, то и площадь будет равна нулю, значит C = 1/4 *r^2 * 1^2 = r^2/4
S = (r^2 - r^2 *cos^2(x))/4 = r^2*sin^2(x)/4

Разумеется получился какой-то полнейший абсурд, потому что sin^2(x)/4 при x = 2*pi никак не равно pi

Итак вопрос, что я сделал не так, что получилась такая вот фигня. Прошу разные "высшая математика - мракобесие, потому ничего и не получается" и подобный бред не писать, а отвечать по теме. Спасибо.
Andrej Gress
Andrej Gress
42 958
Площадь одного треугольника s = (r*sin(x))*(r*cos(x))/2. При стремлении x к нулю (обозначается dx) получается sin(dx) = dx, cos(dx) = 1, ds = (r*r/2)dx. Заметьте - не s, а ds, Интеграл можно брать только от дифференциала. Они всегда парочкой ходят. Интеграл от (r*r/2)dx с пределами от 0 до 2*pi равен pi*r*r.
Сейчас меня математики убьют.
ЮА
Юрий Анцупов
65 100
Лучший ответ
Andrej Gress "получается sin(dx) = dx" - да, с этим преобразованием всё получается правильно. А почему без него не получается.

Я, выходит, интеграл считал не по dx, а по sin(dx) что-ли? Я пока не могу всё ещё догнать суть своей ошибки, помогите пожалуйста :)
Интегральная сумма совсем не так составляется! Надо было круг разбить на секторы и искать сумму площадей секторов. А из прямоугольных треугольников никак не получится площадь круга!
Площадь прямоугольного треугольника составлена верно, только интеграл от этой функции не имеет никакого практического смысла....
Юля Новикова
Юля Новикова
51 724
Andrej Gress Не понимаю почему. Чем разбиение на равнобедренные треугольники так принципиально отличается от разбиения на прямоугольные треугольники? :)
Ойкин Владимир Вы что - двойным интегралом объём рассчитываете? sqrt(1-r^2) - length; r - length; dr - length. length*length*length= volume. У вас под двойным интегралом должен быть r*dr*dф, и всего.
Скажу честно, конкретики не скажу... но по моему разбиение на треугольники - не очень удачно. Интеграл существует, и он очевидно равен площади круга. Вопрос в том, что при таком разбиении в формулах могут появляться бесконечно малые (не считая направления интегрирования dx), с которыми нельзя производить преобразования так, как вы это делаете... ну я это вижу именно так... В конце концов, вы могли где то косячнуть чисто технически... перепроверьте все...
ГТ
Гулдана Таскалиева
77 398
Юля Новикова Ничего он не накосячил. Складывая площади прямоугольных треугольников, нельзя получить площадь круга, т. е. интегральная сумма составлена не для площади круга.
Хотя и высшая математика в самом деле мракобесие, но слушаясь предупреждения автора, не напомню об этом.
По-моему "фигня" получилась с момента записи S = ∫s*dx. s - это площадь; а что получается, когда её умножают ещё на dx? Объём?
Я бы написал так: S = ∫ds= r^2/2*∫[from 0 to 2pi]sin(dx)cos(dx)= r^2/4* ∫[from 0 to 2pi]sin(2dx)= r^2/4*∫[from 0 to 2pi]2dx= r^2/2*∫[from 0 to 2pi]dx= r^2/2*(2pi-0)= pi*r^2.
Истомин Дмитрий
Истомин Дмитрий
78 387
Юля Новикова Действительно, так проще всего!
В моём комментарии картинка из интернета для круга х²+у²≤9,
где ответ в 2 раза больше положенного.
Не могу найти ошибку...
Andrej Gress Да, так и есть. Вы подтвердили мою догадку, которую я озвучил в диалоге с Замятиным Владимиром.
Я dx взял из ниоткуда... просто его дописал, от чего и получил соответствующую ошибку.

В общем всё стало окончательно понятно. Спасибо.
Мне думается у Вас в самой первой формуле ошибка. Площадь прямоугольного треугольника это 1/2 произведению катета на гипотезу и умноженное на синус угла между этим катетом и гипотенузой. А что у Вас я не понимаю. Вы хоть для себя эскиз бы набросали, а потом формулы составляли.
Андрей Михалыч
Андрей Михалыч
11 991
Andrej Gress Эскиз был, просто сюда его добавлять не стал. Я перемножил катеты между собой. sin*r - э то один катет, а cos*r - другой. Соответственно площадь треугольника ((sin*r) * (cos*r) / 2)
Дмитрий Грибинчик Здесь х - угол между катетом и гипотенузой, a r - гипотенуза. Координаты полярные.

Похожие вопросы