Естественные науки
Задача по теории вероятностей с зависимыми событиями (пошаговая дуэль с шагами)
Дуэль. У каждого из участников (один из которых - вы) по одному патрону. Они стоят на расстоянии 30 шагов друг от друга. Ходят по очереди (определение первого ходящего определяется рандомно). У каждого из дуэлянтов есть выбор: выстрелить или подойти. Чем ближе они стоят, тем выше вероятность попадания. Шанс попасть увеличивается линейно. На старте значения шансов каждого участника разные, но в диапазоне 0.2-0.4 (точное значение определяется рандомно). Какова формула для определения наиболее оптимального для вас шага (1-15), на котором следует произвести выстрел? При условии, что подходите не только вы, но и соперник.
Нужно минимизировать вероятность проигрыша. Если я буду бросать кубик и по выпавшему значению определять стрелять или подходить, то вероятность проигрыша будет равна
n*(1-a) + (1-n)*b, где n - вероятность того, что я выстрелю, a - вероятность того, что попаду, b - вероятность того, что при следующем ходе попадёт мой соперник
n*(1-a) + (1-n)*b = n - an + 1 - bn = 1 + n*(1 - a - b)
Как видим, если (1 - a - b) > 0, то минимизироваться функция будет при n = 0 (то есть стрелять не стоит вообще).
если же (1 - a - b) < 0, то минимизироваться она будет при n=1, то есть нужно стрелять
значит нужно найти точку, в которой 1 - a - b = 0 и при достижении её стрелять
В случае, если я хожу первым вероятность моего попадания на некотором шаге k (счёт с нуля) равна
aₖ = a₀ + (1 - a₀)*2k/30
вероятность попадания моего соперника
bₖ = b₀ + (1 - b₀)*(2k+1)/30
1 - (a₀ + (1 - a₀)*2k/30) - (b₀ + (1 - b₀)*(2k+1)/30) = 0
30 - 30*a₀ - (1 - a₀)*2k - 30*b₀ - (1 - b₀)*(2k+1) = 0
30 - 30*a₀ - (1 - a₀)*2k - 30*b₀ - (1 - b₀)*2k - (1 - b₀) = 0
(1 - a₀)*2k + (1 - b₀)*2k = 29 - 30*a₀ - 29*b₀
k = (29 - 30*a₀ - 29*b₀)/((2 - a₀ - b₀)*2)
если же я хожу вторым, то вероятность моего попадания на шаге k равна
aₖ = a₀ + (1 - a₀)*(2k+1)/30
а вероятность попадания моего противника
bₖ = b₀ + (1 - b₀)*(2k+2)/30
1 - (a₀ + (1 - a₀)*(2k+1)/30) - (b₀ + (1 - b₀)*(2k+2)/30) = 0
30 - 30*a₀ - (1 - a₀)*(2k+1) - 30*b₀ - (1 - b₀)*(2k+2) = 0
30 - 30*a₀ - (1 - a₀)*(2k+1) - 30*b₀ - (1 - b₀)*(2k+1) - (1 - b₀) = 0
(1 - a₀)*(2k+1) + (1 - b₀)*(2k+1) = 30 - 30*a₀ - 30*b₀ - (1 - b₀)
(2k+1)*(2 - a₀ - b₀) = 29 - 30*a₀ - 29*b₀
2k+1 = (29 - 30*a₀ - 29*b₀) / (2 - a₀ - b₀)
k = ((29 - 30*a₀ - 29*b₀) / (2 - a₀ - b₀) - 1) / 2
Если нигде не ошибся, разумеется :)
Если в результате вычисления k получили нецелое значение, то стрелять нужно на шаге больше k (не забываем, что счёт с нуля)
P.S. Кстати, я считал вероятность попадания в зависимости от расстояния, а не номера хода, ведь они делают каждый по шагу по очереди, а значит второй игрок уже на нулевом ходе будет стрелять с расстояния 29 шагов, а не 30. Если же этого учитывать не надо было, тогда решение станет немного проще.
n*(1-a) + (1-n)*b, где n - вероятность того, что я выстрелю, a - вероятность того, что попаду, b - вероятность того, что при следующем ходе попадёт мой соперник
n*(1-a) + (1-n)*b = n - an + 1 - bn = 1 + n*(1 - a - b)
Как видим, если (1 - a - b) > 0, то минимизироваться функция будет при n = 0 (то есть стрелять не стоит вообще).
если же (1 - a - b) < 0, то минимизироваться она будет при n=1, то есть нужно стрелять
значит нужно найти точку, в которой 1 - a - b = 0 и при достижении её стрелять
В случае, если я хожу первым вероятность моего попадания на некотором шаге k (счёт с нуля) равна
aₖ = a₀ + (1 - a₀)*2k/30
вероятность попадания моего соперника
bₖ = b₀ + (1 - b₀)*(2k+1)/30
1 - (a₀ + (1 - a₀)*2k/30) - (b₀ + (1 - b₀)*(2k+1)/30) = 0
30 - 30*a₀ - (1 - a₀)*2k - 30*b₀ - (1 - b₀)*(2k+1) = 0
30 - 30*a₀ - (1 - a₀)*2k - 30*b₀ - (1 - b₀)*2k - (1 - b₀) = 0
(1 - a₀)*2k + (1 - b₀)*2k = 29 - 30*a₀ - 29*b₀
k = (29 - 30*a₀ - 29*b₀)/((2 - a₀ - b₀)*2)
если же я хожу вторым, то вероятность моего попадания на шаге k равна
aₖ = a₀ + (1 - a₀)*(2k+1)/30
а вероятность попадания моего противника
bₖ = b₀ + (1 - b₀)*(2k+2)/30
1 - (a₀ + (1 - a₀)*(2k+1)/30) - (b₀ + (1 - b₀)*(2k+2)/30) = 0
30 - 30*a₀ - (1 - a₀)*(2k+1) - 30*b₀ - (1 - b₀)*(2k+2) = 0
30 - 30*a₀ - (1 - a₀)*(2k+1) - 30*b₀ - (1 - b₀)*(2k+1) - (1 - b₀) = 0
(1 - a₀)*(2k+1) + (1 - b₀)*(2k+1) = 30 - 30*a₀ - 30*b₀ - (1 - b₀)
(2k+1)*(2 - a₀ - b₀) = 29 - 30*a₀ - 29*b₀
2k+1 = (29 - 30*a₀ - 29*b₀) / (2 - a₀ - b₀)
k = ((29 - 30*a₀ - 29*b₀) / (2 - a₀ - b₀) - 1) / 2
Если нигде не ошибся, разумеется :)
Если в результате вычисления k получили нецелое значение, то стрелять нужно на шаге больше k (не забываем, что счёт с нуля)
P.S. Кстати, я считал вероятность попадания в зависимости от расстояния, а не номера хода, ведь они делают каждый по шагу по очереди, а значит второй игрок уже на нулевом ходе будет стрелять с расстояния 29 шагов, а не 30. Если же этого учитывать не надо было, тогда решение станет немного проще.
Татьяна Заборонюк
В такие моменты я понимаю, что вообще не помню вышмат :D Очень развернуто. Спасибо) Только вопрос: почему в формуле aₖ = a₀ + (1 - a₀)*2k/30 мы использует 2*k, а не 1*k? И нет, шаг - это не ход, а именно шаг. То есть, если соперник со старта выстрелил, а не походил, он остается на нулевом шаге.
У первого (вас) вероятность попасть с расстояния r до соперника: 1 - k_1*r
У второго: 1 - k_2*r
Стреляй с расстояния 1/(k1 + k2) вне зависимости от того, что там делает соперник.
У второго: 1 - k_2*r
Стреляй с расстояния 1/(k1 + k2) вне зависимости от того, что там делает соперник.
Адай *
76 843
Орал Тажина
а как Вы это значение получили?
и "вне зависимости от того, что там делает соперник" - разумеется в зависимости от этого тактики разные. Если соперник израсходовал свой патрон, то мне имеет смысл подойти впритык и застрелить его :)
и "вне зависимости от того, что там делает соперник" - разумеется в зависимости от этого тактики разные. Если соперник израсходовал свой патрон, то мне имеет смысл подойти впритык и застрелить его :)
Орал Тажина
вот.
я хожу первым. начальные вероятности попадания:
моя - 0.22
соперника 0.4
По Вашей формуле получается, что стрелять надо с
1/(0.026 + 0.02) = 21.74
21 метр - это пятый ход при счёте с нуля
при выстреле с такого расстояния получим вероятность проигрыша в
1 - (0.22 + 0.78*10/30) = 0.52
но что ещё хуже, пока будем ждать вероятность быть убитым будет
0.4 + 0.6*9/30 = 0.58
Я же утверждаю, что стрелять надо на 1 шаг раньше- на четвёртом шаге с нуля
тогда вероятность, что меня пристрелят раньше:
0.4 + 0.6*7/30 = 0.4867
вероятность, что я промахнусь
1 - (0.22 + 0.78*8/30) = 0.572
итак, моя вероятность ниже. Поправьте, если я ошибся, но это означает, что Ваша формула неверна.
я хожу первым. начальные вероятности попадания:
моя - 0.22
соперника 0.4
По Вашей формуле получается, что стрелять надо с
1/(0.026 + 0.02) = 21.74
21 метр - это пятый ход при счёте с нуля
при выстреле с такого расстояния получим вероятность проигрыша в
1 - (0.22 + 0.78*10/30) = 0.52
но что ещё хуже, пока будем ждать вероятность быть убитым будет
0.4 + 0.6*9/30 = 0.58
Я же утверждаю, что стрелять надо на 1 шаг раньше- на четвёртом шаге с нуля
тогда вероятность, что меня пристрелят раньше:
0.4 + 0.6*7/30 = 0.4867
вероятность, что я промахнусь
1 - (0.22 + 0.78*8/30) = 0.572
итак, моя вероятность ниже. Поправьте, если я ошибся, но это означает, что Ваша формула неверна.
Похожие вопросы
- помогите пожалуйста с 2 задачами по Теории вероятностей.
- Математика - задача на теорию вероятности. Нужна помощь.
- Помогите пожалуйста решить задачи по теории вероятности!!!!
- Задача на теорию вероятности
- Задача по теории вероятности
- Помогите решить задачу по теории вероятности
- помогите решить задачу по теории вероятности, ПОЖАЛУЙСТА!!!
- Помогите с задачей по теории вероятности
- помогите решить задачу по теории вероятностей!
- Задача про теорию вероятностей