Почему нельзя придумать число, произведение которого на ноль давало бы не ноль, и при этом не возникало парадоксов?

потому же, почему нельзя придумать контрпример к любой доказанной теореме.

для любого А: А*0=0 - это теорема

А*0 = А*(1-1) = А*1 - А*1 = А - А = 0
(тут использована еще парочка простейших теорем и аксиом).

.

Умножение на ноль, это стягивание числового пространства в точку.
Например, числовая прямая вещественных чисел имеет размерность 1, а стягивается в точку с размерностью 0, при умножении на ноль.
Или, например, комплексная плоскость, это двумерное пространство. При умножении на ноль, оно стягивается в точку с размерностью ноль.

Вы хотите, чтобы в числовом пространстве была какая-то особая выделенная точка, которая при стягивании всего пространства в точку, стягивалась бы в другую точку. Но всё дело в том, что эта другая точка в это время сама стягивается в общую точку. Поэтому и наша особая нестандартная точка тоже стянется к нулю. Иначе происходит разрыв пространства, то есть реряется непрерывность умножения применительно к числовому пространству.

.
P.S.
Можно придумать только такие системы чисел, где есть делители нуля. То есть там бывает

a*b=0, при a не равно нулю и b не равно нулю.

Эти системы чисел изоморфны квадратным матрицам, причем, делители нуля изоморфны вырожденным матрицам. То есть все делители нуля, это аналоги многомерных нулей, которые уменьшают размерность пространства.

.

Совсем просто - потому что если что бы то ни было не не брать нисколько раз, то нисколько и получится.

ноль это множитель ( в данном случае) и он (множитель) обязан превращать все, что подсунут в ноль. Поэтому нельзя придумать такое число, чтоб не было нуля.
Точно так же единице предписано превращать числа самих в себя--- 9 * 1 = 9. ..

а парадоксов и не возникает