Математика. Как корень квадратный можно представить в реальной жизни ?

Да, сторона квадрата. И всё. ❎

типа "отведем под картошку 10 соток (1000кв. метров)" - какого размера будет сторона квадратного поля?

Гипотенуза прямоугольного треугольника. Впервые ее расчеты появились в древнем Вавилоне 3600 лет тому назад. А вообще большинство математических понятий не рассчитаны на наглядное представление. Это обычно какие-то отношения между элементами. Мы можем представить себе сами эти элементы, но их отношение друг к другу - уже абстракция.
Например, корень из двух - отношение сторон двух квадратов, у одного из которых площадь вдвое больше, чем у другого.

Сначала поймем, как представить себе вторую степень, или квадрат. Если мы знаем, что такое умножение, то умножение числа на само себя будет его квадрат, что представить себе довольно просто.
А квадратный корень - это отыскание числа, которое будучи умножено само на себя, даст в квадрате то, которое мы имеем. То есть извлечение корня - действие, обратное возведению в квадрат.
Ведь в математике все идет пошагово. Сложение не имеет определения, и принимается интуитивно. Вычитание - действие, обратное сложению, то есть, отыскание неизвестного слагаемого по сумме и известному слагаемому. Умножение - сокращенное сложение. Деление - действие, обратное умножению, то есть, отыскание неизвестного сомножителя по произведению и известному сомножителю.
Возведение в степень - один из вариантов умножения. Извлечение корня - действие, обратное возведению в степень, то есть отыскание числа, которое будучи возведено в квадрат даст известное.

вот проблема
длина диагонали прямоугольника - вполне себе квадратный корень из чего-то.

Никак. Это чисто математический трюк.

Квадратный корень из площади квадрата равен длине стороны квадрата. Вот как представить в реальной жизни, что этого можно не понимать? Вот в чем вопрос!!!

можно представить в виде пифагоровых штанов

чтобы узнать на сколько делить квадратную площадь (в уме представил)

У тебя квадратная комната. Ты знаешь её площадь. Чтобы прикинуть сколько надо паркета нужен кв. корень.

Корень квадратный это обратная операция возведению в квадрат.
Как деление это обратная операция умножению

По-моему, когда не было калькуляторов, а некоторым людям приходилось много считать, то эти люди как-то самим собой и стали замечать некоторые свойства чисел, в том числе и квадраты с их корнями.