Кто перед учеными ставит задачи, что им разрабатывать, изобретать?

Вы сами, уточняя вопрос, по сути подменили его.
Задачи ученые обычно ставят перед собой сами, а финансирование бывает бюджетное, за счет научных фондов и договорное.
Раньше бюджетное финансирование распределяла Академия наук. Бюджет отпускал ей определенную сумму, а дальше ученые сами договаривались между собой о распределении этих средств. Потом все имущество Академии передали ФАНО - федеральному агентству научных организаций, и решать вопросы бюджетного финансирования науки стали чиновники. В последнем нашем правительстве создали новое министерство - науки и высшего образования, а ФАНО расформировали, но на деле - просто влили в это министерство. Теперь вопросы бюджетного финансирования будет решать это министерство.
Финансирование за счет фондов (как государственных, так и негосударственных) осуществляется грантами. Ученые пишут заявки и подают их в соответствующий фонд (с их перечнем, не знаю, насколько полным, можете ознакомиться здесь, предварительно [точка] заменить точкой: https://gradstudyabroad[точка]ru/links/russian-funds-supporting-education-and-research), в фонде их рассматривают и выдают (или не выдают) грант, то есть определенную сумму на проведение конкретной оговоренной в заявке научной работы.
А с договорными работами все должно быть понятно. Люди или организации, заинтересованные в своей работе в проведении тех или иных исследований, обращаются в институт соответствующего профиля, заключают договор, и ученые проводят за деньги заказчика нужные ему (и, обычно, интересные для института) исследования.
Так обстоит дело с академической наукой. А есть еще отраслевая. Она финансируется за счет средств того министерства, под эгидой которого существует конкретный институт. Министерство же и определяет тематику и направления исследований.

Авторы игры.

Кто, кто... заказчики. У производителей требуют продукцию, производители в свою очередь ищут производственное оборудование, оборудование в свою очередь опирается на какую-то элементную базу, к которой предъявляют требования, и уже разработчики, либо в составе производства, либо отдельной организацией, занимаются разработкой новых технологий для того, чтобы уложиться в требования, чтобы продать тем, те продают дальше, те - дальше и т. д... Ну и соответственно, у гос. учреждений сами задачи навязываются правительством, а у коммерческих - теми, кто заплатит.

Сами ученые.

Я

Никто. Если ученым ставить задачи, пишите пропало))
Разрабатывать, изобретать - это к инженерам.

Существует два вида исследований - академические, где автор идеи сам ведет ее разработку и должен обосновать перед руководством перспективность работы, и хоздоговорные. Там все решает заказчик.

А вообще-то в творческих коллективах всегда есть человек-генератор идей. А потом все работают - до новой идеи :)

Думаю, тот же, кто перед писателями ставит задачи - какие им книги писать, перед композиторами и музыкантами - какие песни и мелодии нужно написать, ну и так далее. Кто этому Ньютону яблоко на голову скинул. Кто "Эврика" кричал, забыв штаны дома. Список бесконечный.

Ученые изучают какой-то топик, что бы открыть что-то новое. А изобретают что-то, если им что-то надо, например автоматическую спино-чисалку изобретут, когда в этом появится необходимость.