Почему ноль в нулевой степени равен единице?

Разрешите-ка вам на пальцах кое-что объяснить.

Функцию x1^x2 в точке (0, 0) по непрерывности доопределить нельзя, потому что там повторные пределы не равны - результат зависит от того, в каком порядке пределы брать.

Но предел почти по любому направлению там равен единице. Впрочем, это если по прямой к нулю приближаться.
Но если вам хочется, могу привести пример непрерывной кривой, проходящей через ноль, такой, что для любой последовательности точек на этой кривой, сходящейся к нулю, соответствующая последовательность значений выражения x1^x2 будет сходиться, например, к ста.

В большинстве источников принято считать, что значение выражения 0^0 не определено.

потому, что x^x в нуле стремится с 1.
возьми Эксель и посчитай

1=1
0,5=0,707106781
0,25=0,707106781
0,125=0,771105413
0,0625=0,840896415
0,03125=0,897354538
0,015625=0,937083817
0,0078125=0,962802972
0,00390625=0,978572062
0,001953125=0,987889699
0,000976563=0,993253843
0,000488281=0,996283963
0,000244141=0,997971356
0,00012207=0,99890064
6,10352E-05=0,999407887
3,05176E-05=0,999682753
1,52588E-05=0,999830789
7,62939E-06=0,999910103
3,8147E-06=0,999952406
1,90735E-06=0,999974881

Выражение 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 0^{0} (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла [1]. Связано это с тем, что функция двух переменных f ( x, y ) = x y {\displaystyle f(x,y)=x^{y}} {\displaystyle f(x,y)=x^{y}} в точке { 0, 0 } {\displaystyle \{0,0\}} \{0,0\} имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси X , {\displaystyle X,} X, где y = 0 , {\displaystyle y=0,} y=0, она равна единице, а вдоль положительного направления оси Y , {\displaystyle Y,} Y, где x = 0 , {\displaystyle x=0,} x=0, она равна нулю. Поэтому никакое соглашение о значении 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 0^{0} не может дать непрерывную в нуле функцию.

Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В пользу последнего варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты:

e x = 1 + ∑ n = 1 ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}} {\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}}

можно записать короче, если принять 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} 0^0=1:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! ,{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!},} {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!},}

(наше соглашение используется при x = 0, n = 0 {\displaystyle x=0,n=0} x=0, n=0).

Если 0 относить к натуральным числам, то возведение в натуральную степень можно определить так:

a n = 1 ⋅ a ⋅ a ⋅ . .⋅ a ⏟ n {\displaystyle a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{n}} {\displaystyle a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{n}},

и тогда возведение любого числа (в том числе нуля) в нулевую степень будет давать 1.

Другое обоснование соглашения 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} 0^0=1 опирается на «Теорию множеств» Бурбаки [2]: число различных отображений n-элементного множества в m-элементное равно m n , {\displaystyle m^{n},} {\displaystyle m^{n},} при m = n = 0 {\displaystyle m=n=0} {\displaystyle m=n=0} получаем отображение пустого множества в пустое, а оно единственно. Разумеется, это нельзя считать доказательством (соглашения не нуждаются в доказательствах), тем более что в самой теории множеств соглашение 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} 0^0=1 не используется.

В любом случае соглашение 0 0 = 1 {\displaystyle 0^{0}=1} 0^0=1 чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке. Пример для аналитических вычислений: выражение ( a − 1 / t ) t , {\displaystyle (a^{-1/t})^{t},} {\displaystyle (a^{-1/t})^{t},} где a {\displaystyle a} a — произвольное положительное вещественное число. При t → 0 {\displaystyle t\to 0} {\displaystyle t\to 0} мы получаем неопределённость типа 0 0 , {\displaystyle 0^{0},} {\displaystyle 0^{0},} и, если не отличать предельную форму 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 0^{0} (где каждый из нулей обозначает стремление к нулю) и значение 0 0 {\displaystyle 0^{0}} 0^{0}(где каждый из нулей и есть ноль), можно ошибочно посчитать, что предел равен 1. На самом деле данное выражение тождественно равно a − 1 . {\displaystyle a^{-1}.} a^{-1}. это означает, что бесконечно малая в бесконечно малой степени может в пределе дать любое значение, не обязательно единицу. Аналогичные ошибки могут быть сделаны, если использовать соглашение в алгебраических преобразованиях.

По определению 0⁰ в математике не имеет смысла.
Получить такое выражение можно было бы, например, так:
0⁵/0⁵ = 0⁵⁻⁵ = 0⁰, т. е. приходится делить на 0, а это не имеет смысла!
И не надо выражение 0⁰ путать с символом 0⁰, который используется
для обозначения неопределённости "бесконечно малая в степени
бесконечно малая". Что кстати многие отвечающие и делают!

Не равен.

Потому же, почему через две точки можно провести только одну прямую - так договорились. Это аксиома

Не равен. Единице может быть равно в пределе только частное от деления двух функций стремящихся к нулю... но это частное может быть равно как единице, так и любому другому числу :) в том числе нулю и даже продолжать стремиться к бесконечности

а вообще нулевая степень определяется как отношение a^0 = a^(1-1) = a^1/a^1 = a/a
и разумеется для любого числа кроме 0 результатом будет 1, но вод для нуля результатом этого выражения будет неопределённость :) Так уж получилось, что исходя из определения операции деления, как обратной к умножению мы имеем следующее
0/0 = с - верно тогда и только тогда, когда
c*0 = 0

А второе верно при любых значениях c. Потому 0/0 может быть абсолютно любым числом.

ноль и единица - они разные

Не имеет решения, одна из математических профанаций.
Внедряется со спекулятивными целями, в т.ч. в интересах фин. структур, поскольку желают получить лишнюю единицу.

А уж какая это будет единица, зависит от фин. фокусников. Может один цент.
А может один лимон баксов, когда надо, и кому надо)))

...Левин и Тегеус - гении в степени гениев, а бог=единая бесконечность пока лох, но знает, победитель - это единый процесс...