Как рассчитать объём шара, если известен масса полезного груза?

Если есть данные о плотности оболочки (обычно это - масса квадратного метра оболочки), то можно было бы найти минимальные размеры гелиевого шара, необходимые для подъёма заданного полезного груза.
В этом случае условие полета / равновесия выглядит так:
V*(Δρ) - S*γ >= m
Здесь V - объём
S - площадь
Δρ - разность плотности воздуха и гелия
γ - масса квадратного метра оболочки
m - масса полезного груза

Поскольку объём и площадь шарльера связаны через радиус шарльера R:
V = (4π/3)R³
S = 4πR²
Тогда условие равновесия и полёта переписывается в виде
(4π/3)R³*(Δρ) - 4πR²*γ >= m
что, после элементарных преобразований даёт
R³ - (3γ/Δρ)R² >= (¾)m/(πΔρ)
то вроде бы нужно просто найти корень уравнения
R³ - (3γ/Δρ)R² - (¾)m/(πΔρ) = 0
это и будет минимальный радиус, по которому можно определить площадь и объём.
Но решать таое уравнение в общем виде - не простая штука.
По мне так лучше решить его численно, используя в качестве нулевого приближения значение
Rо = Кубический корень (¾m/(πΔρ)

К примеру, если m = 100 кг и γ = 0,1 кг на кв м
то
Rо = 2,79 м
дихотомией получаем
R ~ 2.89 м

а чем шар-то будет заполнен? гелием или просто подогреваться газом?

если гелием, считайте, что кубометр воздуха где-то грубо килограмм, куб гелия - 200 грамм, значит каждый кубометр шара будет поднимать 800 грамм груза.

обычный гелиевый шарик, как на праздниках детям дарят, поднимает где-то 10-15 грамм

Хрена вы там грузы катаете в шарах... видео будет? :)

масса измеряется в кг, а вес в ньютонах

никак

Узнай его плотность и можно будет говорить уже о чем-то.

Разделить массу на плотность!