подскажите про объём шара

Есть такая теорема Ньютона-Симпсона, нам в школе объём шара и конуса по ней выводили. Она применима и к выводу площади фигуры.

Нормальный путь только один - проинтегрировать по углам (в полярных координатах)
В шклоле вроде бы выводили через предел многогранников, но это очень стрёмный путь, поскольку известен такой выбор многогранников ("фрактальной раземерности"), который даёт ДРУГИЕ формулы....

Уважаемые дамы и господа!
Задачка в сущности простая. Может быть вопрос в том, кем и когда была доказана теорема об объеме шара?
Разумеется, это задачу первыми решили не Бойль с Мариоттом и не Ньютон.
Для тех, кому интересно содержание теоремы Гюльдена-Паппа предлагаю ссылку: http://educationfor.narod.ru/math.html
Обобщение в 3-х мерное измерение не так уж сложно.

Это просто. Запишем элемент поверхности dS (для сферы с радиусом R) в сферической системе координат:
dS = R^2 * sin(teta) * d teta * d fi (где teta и fi - сферические углы) . Интегрируя dS по teta (от 0 до pi) и по fi (от 0 до 2pi), имеем S = 4*pi*R^2. Теперь запишем элемент объёма dV для шара с переменным радиусом r в той же системе координат: dV =r^2 * sin(teta) * d teta * d fi * dr. Интегрируя dV по teta (от 0 до pi), по fi (от 0 до 2pi) и по r (от 0 до R), легко показать, что V = 4/3 * pi * R^3.

площадь сферы: 4 пи умножить на радиус в квадрате (S=4ПR^2)
объем шара: 4/3 пи умножить на радиус в кубе (V=4/3ПR^3)